Problema con equazioni differenziali

[ZfreS]

Ok, ho capito. C'era un'altra richiesta, ovvero calcolare il tempo che ci vuole per dimezzare il volume.
Sapendo che il volume della sfera è uguale a $4/3piR^3$, per dimezzarlo devo prima calcolare il volume conoscendo il raggio iniziale ovvero $6cm$ e poi dividere o no?

[SirDanielFortesque]

Se $R(0)=R_0$
il raggio della sfera che ha metà volume è:

$R_0/(root(3)(2))$

No? quindi...

[ZfreS]

Hai preso come $R_0$ il $4$ e non il $6$, il che è giusto anche se non so perchè. Ma come sei giunto a $R_0/(root(3)(2))$ ?
Perchè non c'è più $4/3pi$?

[SirDanielFortesque]

Io non ho preso niente come $R_0$

Semplicemente la sfera con metà del volume di una data di raggio $R_0$ ha raggio pari a $R_0/(root(3)(6))$

Prova a fare così:

$R_0=6$

$R'=R_0/root(3)(2)$

$R_0/root(3)(2)=6/root(3)(2)=72/(t+12)$
da cui hai:
$t=12*(root(3)(2)-1)$

Risulta dal libro?

[ZfreS]

Si, torna, ma come ottieni che $R'=R_0/(root(3)(2))$ ?

[SirDanielFortesque]

Guarda io te lo spiego volentieri. Ma sappi che in quarta liceo non si dovrebbero avere di questi dubbi. Perché sono pericolosi. Pericolosi perché è la base di tutto. Altrimenti è come buttare mattoni in un pozzo.

Ci vorrebbe una certa capacità di gestire questo tipo di rapporti con le formule delle scuole medie, alla tua età.

Ad ogni modo, cerco di spiegarlo semplicemente.

Il problema, geometricamente, ti dice:

Data una sfera "A" di raggio $R_0$, che raggio deve avere una sfera $B$ che abbia metà del volume della sfera $A$?

Allora prendi il volume della sfera $A$

$V_A=4/3*pi*R_0^3$

Poi prendi il volume della sfera $B$

$V_B=4/3*pi*(R_0/\alpha)^3$

Dove $R_0$, naturalmente, è diviso per un certo fattore che dobbiamo determinare, pertanto impongo che sia verificato il vincolo iniziale:

$V_A=2*V_B$

OK?
Cioè:
$4/3*pi*R_0^3=2*4/3*pi*(R_0/\alpha)^3$

Semplifichi:

$R_0^3=2*(R_0/(\alpha))^3$

$R_0=root(3)(2)*(R_0)/(\alpha)$

$\alpha=root(3)(2)$

Quindi la sfera $B$ deve avere raggio $R'=R_0/(root(3)(2))$

Guarda non do la colpa a te che per il fatto che non sei riuscito ad applicare la formula del volume della sfera. Spero che tu abbia avuto solo una svista perché se uno mi fa le derivate e poi si blocca sulla geometria elementare solo di questo si può trattare. E comunque resta grave. Perdonami la filippica.

[ZfreS]

$4/3*pi*R_0^3=2*4/3*pi*(R_0/\alpha)^3$. Era questo il passaggio cruciale, al quale non ho pensato. Non è la geometria, è il ragionamento che hai fatto che mi mancava. Ti ringrazio davvero tanto per avermi seguito anche questa volta spiegandomi tutti i passaggi. Buona serata!

[SirDanielFortesque]

Figurati. E altrettanto a te. Ciao!