Se vuoi un tipo di risoluzione "meccanica" io utilizzerei i test di Bioche per capire quale sostituzione optare. E ricondursi ad un equazione non goniometrica.
Indicazioni:
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Optare per la sostituzione \( \tan(x/2)=t \), dunque abbiamo che \( \sin(x)=\frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \) e \( \cos(x)=\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \), vero che ti esplode il grado dell'equazione ma è relativamente semplice ridurlo.
Infatti la tua equazione diviene
\[ \begin{pmatrix}
\frac{2t}{1+t^2}
\end{pmatrix}^3 + \begin{pmatrix}
\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{pmatrix}^3 = 1\]
Semplificandola un po' e applicando ruffini un paio di volte ottieni che questa equazione è equivalente a
\[ 2t^2(t-1)^2(t^2+2t+3)=0 \]
Hai pertanto che le soluzioni reali alla tua equazione goniometrica sono le medesime di
\( \tan(\frac{x}{2})=1 \) e \( \tan(\frac{x}{2})=0 \)
ps: non mi piace come questo modo, ma sicuramente ottieni la soluzione, è lunga e un po' fastidiosa.
Mentre se vuoi una risoluzione meno meccanica dimostrerei che oltre alle soluzioni banali \( x= 2\pi n \) e \( x= \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) con \( n \in \mathbb{Z} \), non ci sono altre soluzioni possibili. Per farlo noterei che:
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Siccome \( \begin{vmatrix} \sin(x) \end{vmatrix} \leq 1 \) e \( \begin{vmatrix} \cos(x) \end{vmatrix} \leq 1 \) abbiamo che pure \( \begin{vmatrix} \sin^3(x) \end{vmatrix} \leq 1 \) e \( \begin{vmatrix} \cos^3(x) \end{vmatrix} \leq 1 \), inoltre in quanto è un cubo il segno di \( sin(x) \) e \( \cos(x) \) e rispettivamente \( sin^3(x) \) e \( \cos^3(x) \) non cambia.
Pertanto oltre le soluzioni banali \( x= 2\pi n \) e \( x= \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) con \( n \in \mathbb{Z} \) le altre soluzioni (se esistono) devono essere tutte nel primo quadrante. Per dimostrare ciò
-Se \( x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n ) \) parti da \( \sin^3(x) + \cos^3(x) \) e fai considerazioni sul segno del seno e del coseno per dimostrare che forzatamente \( \sin^3(x) + \cos^3(x) < 1 \)
Ora per dimostrare che oltre alle soluzioni banali non ci sono altre soluzioni bisogna dimostrare che pure nel quadrante \( (2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \) non ci sono soluzioni. Per fare ciò dimostra che hai la seguente relazione \( \sin^3(x) + \cos^3(x) < 1 \), per ogni \( x \in(2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \) e ricordandoti che \( 1= \sin^2(x) + \cos^2(x) \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \).
ps: Non devi "risolvere" niente, diviene solo uno studio del segno relativamente semplice.
Io preferisco di gran lunga il secondo, anche perché nel primo rischi di sbagliarti con i calcoli e complichi un problema di per sé relativamente semplice.