Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda MuadDibb » 12/05/2019, 18:11

Salve, ho difficoltà a semplificare questa frazione algebrica. Ho bisogno di un aiuto, intanto vi faccio vedere come procedo.
$ ((x+y)^7-x^7-y^7)/((x+y)^5-x^5-y^5) $

$ (x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7-x^7-y^7)/(x^5+5​x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5-x^5-y^5) $

$ (7xy(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5xy(​x^3+2x^2+2xy^2+y^3)) $

$ (7(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5(​x^3+2x^2+2xy^2+y^3)) $

Da qui in poi sono bloccato :(

Il risultato che indica il libro è:

$ (7(x^2+xy+y^2))/5 $
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda Vidocq » 12/05/2019, 19:59

Procedendo in modo brutale.

1) Hai sbagliato a raccogliere il denominatore. Controlla meglio: hai perso una $y$ per strada.
2) Corretto l'errore, procedi con la normale divisione fra due polinomi e vedrai una magia :wink:
Nell'oscurità l'immaginazione lavora più attivamente che in piena luce. (Immanuel Kant)
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda MuadDibb » 12/05/2019, 22:08

Vidocq ha scritto:Procedendo in modo brutale.

1) Hai sbagliato a raccogliere il denominatore. Controlla meglio: hai perso una $ y $ per strada.
2) Corretto l'errore, procedi con la normale divisione fra due polinomi e vedrai una magia :wink:

Si, hai ragione. Me la sono persa per distrazione.
$ (7xy(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5xy(​x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)) $

$ (7(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5(​x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)) $

Mi dispiace ma arrivato fin qui non riesco ad andare avanti.
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda Vidocq » 12/05/2019, 22:14

Dopo questo consiglio:

Vidocq ha scritto:2) Corretto l'errore, procedi con la normale divisione fra due polinomi e vedrai una magia :wink:


e' abbastanza grave leggere questa risposta:

MuadDibb ha scritto:Mi dispiace ma arrivato fin qui non riesco ad andare avanti.


Ad ogni modo, leggi qui.
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda MuadDibb » 12/05/2019, 22:33

Giusto! Il risultato della divisione tra polinomi è $ x^2+xy+y^2 $
Non ci avevo proprio pensato, ero concentrato a raccogliere i fattori comuni o a trovare prodotti notevoli.
Grazie :D
Per caso sai come posso scrivere una divisione tra polinomi con l'editor? Ho cercato di farlo, ma non ci sono riuscito.
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda Vidocq » 12/05/2019, 22:46

No.
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda axpgn » 12/05/2019, 23:31

@MuadDibb
Perché dovresti scrivere la divisione qui? Il senso del post di Vidocq era quello di "farla" la divisione non di mostrarcela :wink:
L'importante è che ti sia venuta giusta. Basta quello …
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda @melia » 13/05/2019, 18:31

Io l'ho risolto senza fare la divisione.

A numeratore e a denominatore ho considerato la scomposizione della somma di due potenze dispari
$x^n+y^n = (x+y)(x^(n-1)-x^(n-2)*y+x^(n-3)*y^2- ... +y^(n-1))$, perciò

$ ((x+y)^7-x^7-y^7)/((x+y)^5-x^5-y^5) = $ dopo un paio di passaggi ottengo

$= (7xy(x+y)*(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5xy(x+y)*(x^2+xy+y^2))=$ dopo aver semplificato

$= (7(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5(x^2+xy+y^2))=$ osservo che il numeratore è un quadrato di trinomio, precisamente

$= (7(x^2+xy+y^2)^2)/(5(x^2+xy+y^2)) = (7(x^2+xy+y^2))/5$
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda Vidocq » 13/05/2019, 18:46

Si', se ha studiato quel prodotto notevole potrebbe procedere anche in questo modo :smt023

Con la divisione, in questo caso particolare, dovrebbe fare prima (in termini di passaggi).
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Re: Semplificazione di una frazione algebrica

Messaggioda MuadDibb » 19/05/2019, 16:28

Grazie per avermi risposto @melia!

@melia ha scritto:Io l'ho risolto senza fare la divisione.

A numeratore e a denominatore ho considerato la scomposizione della somma di due potenze dispari
$ x^n+y^n = (x+y)(x^(n-1)-x^(n-2)*y+x^(n-3)*y^2- ... +y^(n-1)) $, perciò

Non lo sapevo.

$ ((x+y)^7-x^7-y^7)/((x+y)^5-x^5-y^5) = $ dopo un paio di passaggi ottengo

$ = (7xy(x+y)*(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5xy(x+y)*(x^2+xy+y^2))= $ dopo aver semplificato

$ = (7(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5(x^2+xy+y^2))= $ osservo che il numeratore è un quadrato di trinomio, precisamente


$ = (7(x^2+xy+y^2)^2)/(5(x^2+xy+y^2)) = (7(x^2+xy+y^2))/5 $


Perfetto, grazie mille!
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