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Ho questo limite un po difficile: $lim_(x->pi/2)(cos(x/2)-sin(x/2))tgx$
Ho pensato a fare un cambio di variabile: $t=x-pi/2$ e quindi avere: $lim_(t->0)(cos(pi/4+t/2)-sin(pi/4+t/2))tg(pi/2+t)$.
Però così non risolvo proprio nulla. Potreste aiutarrmi a capire per favore?

Cavolo, si fa a mente. Se non ho sbagliato i conti fa $1/sqrt(2)$

Prova a moltiplicare il tutto per $(cos(x/2)+sin(x/2))/(cos(x/2)+sin(x/2))$

Bella soluzione, molto veloce. Alla fine l'ho risolto manipolando la tangente per farla uscire in $x/2$. Grazie per l'aiuto!

Prego

Posto anche questo, che mi sembra stupido ma non dà: $lim_(x->0)(e^x-1-x)/(1-cosx+x^2)$, raccolgo il termine di grado massimo a numeratore e denominatore: $lim_(x->0)(x((e^x-1)/x)-1)/((x^2((1-cosx)/x^2+1)))$ e semplificando viene:
$lim_(x->0)((1-1)/(x(1/2+1)))$ che è ancora indeterminato. Dove ho sbagliato?

Non serve a nulla raccogliere i termini di grado massimo in questo caso, da dove hai preso questo limite comunque? Perché così ad occhio mi sa si può fare coi limiti notevoli/sostituzione ( purtroppo sono abituato a farli con gli sviluppi quindi non sono più "allenato" a vedere queste cose)

Si, bisogna farlo con i limiti notevoli, infatti li ho applicati dopo aver raccolto. Evidentemente bisogna applicarli in modo diverso, senza raccogliere.

@Zfres Da quello che vedo i passaggi che hai fatto sono corretti...e non mi metto a provare decomposizioni "ultrabrillanti".
Quando vedo che usando i limiti notevoli non funziona di solito la risposta è una sola...non sono sufficienti.
Non so se hai fatto le serie di Taylor, ma sostanzialmente i limiti notevoli sono approssimazioni di primo grado di una McLaurin.
Se il limite "resiste" allora si passa all'approssimazione di secondo grado e si guarda cosa accade.
Nel caso specifico:
$lim_(x->0) (e^x-1-x)/(1-cos(x)+x^2)=lim_(x->0)((1+x+x^2/2)-1-x)/(1-(1-x^2/2)+2x^2)=lim_(x->0)x^2/(3x^2)=1/3$

Ah ok, ma essendo un esercizio da scuola superiore, penso si possa risolvere senza le serie. Comunque va bene, grazie per l'aiuto!