Delucidazioni su prodotto scalare

Vorrei chiarire un po di dubbi sull'perazione di prodotto scalare.
Perchè è utile, sopratutto in fisica nella definizione di lavoro, qual'è la dimostrazione della formula: $v*w=vwcosalpha$ ?

Procediamo con una dimostrazione abbastanza semplice, facendo riferimento alla seguente figura:

figura

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Definizione.

Si definisce prodotto scalare l'applicazione $\cdot \:\mathbb{R}^{\text{3}}\times\mathbb{R}^{\text{3}} \mapsto \mathbb{R}$ che associa ai vettori v e w lo scalare $\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}$

Nella nostra analisi tornerà utile anche la definizione di norma euclidea di un vettore v:

$|| \mathbf{v} ||:=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$

Osservando la figura (considerando implicitamente alcune proprietà del prodotto scalare) notiamo che:

$|| \mathbf{v}-\mathbf{w} ||^{2}=(\mathbf{v}-\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}-\mathbf{w})=|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w} ||^{2} -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$

Inoltre, applicando il teorema dei coseni al triangolo riportato in figura:

$|| \mathbf{v}-\mathbf{w} ||^{2}=(\mathbf{v}-\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}-\mathbf{w})=|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w}||^{2} -2|| \mathbf{v} |||| \mathbf{w} ||\cos(\alpha )$

Uguagliando i secondi membri delle due precedenti relazioni:

$|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w}||^{2} -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=|| \mathbf{v}||^{2}+|| \mathbf{w} ||^{2} -2|| \mathbf{v}|||| \mathbf{w}||\cos(\alpha )$

e semplificando

$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=|| \mathbf{v} |||| \mathbf{w} ||\cos(\alpha )$
$square$

Dal punto di vista geometrico puoi interpretare il prodotto scalare come proiezione ortogonale del vettore w sulla retta parallela al vettore v.
Questa interpretazione e' utilissima per comprendere meglio il significato di lavoro.
La forza ortogonale alla traiettoria (di spostamento) non compie lavoro; la forza parallela si'.
Interpretando w come una forza e v come uno spostamento, allora stai calcolando la componente parallela a v utile al lavoro.

Perfetto, ora ho capito, grazie mille!

Ma perchè quel segmento che unisce i due vettori è la differenza dei due e non la somma?

Personalmente, sarà l'ultima volta che rispondo ad una tua domanda di questo tipo.
Non sei autorizzato ad avere un dubbio del genere, se scrivi di lavoro, prodotti scalari e cosi' via.

Il disegno seguente dovrebbe parlare da solo

figura

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Ma perchè quel segmento che unisce i due vettori è la differenza dei due e non la somma?

Riguarda la regola del parallelogramma

Ok, scusa per il dubbio stupido. Grazie per avermelo spiegato.

Ok, scusa per il dubbio stupido. Grazie per avermelo spiegato.

Personalmente ritengo che non bisognerebbe mai scusarsi per un dubbio, nessun dubbio è stupido!

Nessuno si deve scusare e nessun dubbio è stupido, ovviamente.

@ZfreS, ad ogni modo continua cosi' perché sono sicuro che una buona parte dei "laureati" non saprebbero rispondere alla domanda originale di questo thread
Il solo fatto che tu pensi alla dimostrazione, ti mette su un livello più alto, ma allo stesso tempo devi esigere un maggior sacrificio e severità verso te stesso.
Continua cosi'!

Grazie per l'incoraggiamento! Ma perchè queste dimostrazioni non si trovano nei libri? Almeno quelli da liceo, quelli universitari non so.