Divisione tra polinomi

[Giotto44]

Salve,
Devo stabilire per quali valori di $b$ il polinomio $ (x^2-3x)(x^2-b+2)(x^2-4b^2) $ è divisibile per il polinomio $ x^2-2x-3 $ .
Ho provato ha scrivere il dividendo in forma normale e poi fare la divisione e porre il resto uguale a zero, ma non esce.
C’e Un altro metodo più immediato?

[axpgn]

Prova a scomporre il divisore e ulteriormente anche il dividendo …

[Giotto44]

E senza scomposizioni?

[axpgn]

E perché "senza" ?
Peraltro penso che se fai la divisione normale dovresti riuscirci comunque … posta il risultato della divisone che hai fatto …

[Giotto44]

Il resto viene $ (-4b^3+12b^2+b)x+12b^3-36b^2-3b+9 $ .
In pratica in si annulla il termine in x

[axpgn]

Se scomponi tutto viene $(x(x-3)(x^2-b+2)(x+2b)(x-2b))/((x+1)(x-3))$

che semplificato viene $(x(x^2-b+2)(x+2b)(x-2b))/(x+1)$

per cui è divisibile per

$x-2b=x+1\ ->\ b= -1/2$

$x+2b=x+1\ ->\ b= +1/2$

$x^2-b+2=x+1\ ->\ b=x^2-x+1$

dove in quest'ultimo caso la $b$ dipende dalla $x$ quindi non credo che sia da considerare, dipende dalla richiesta (IMHO) mentre nei primi due casi sicuramente è divisibile.

[@melia]

Personalmente avrei scomposto solo il divisore per poter applicare il teorema di Ruffini:
$ x^2-2x-3 $ diventa $(x+3)(x-1)$.
Il polinomio $P(x)= (x^2-3x)(x^2-b+2)(x^2-4b^2) $ è divisibile per il polinomio $ x^2-2x-3 $ se e solo se $P(3)=0 ^^ P(-1)=0$.

$P(3)=0$ è verificato per ogni valore di $b$
$P(-1)=0$ diventa $(1+3)(-1-b+2)(1-4b^2)=0$ che è verificata per $b=+-1/2 vv b=1$