Funzione negativa per quale intervallo

[bao]

Ciao a tutti, come detto nel forum presentazioni sono un 39enne che con 22 anni circa di ritardo cerca di recuperare un diploma interrotto. Ma tra lavoro, famiglia e il poco tempo a disposizione per studiare (e me ne concedo poche di sonno) necessito talvolta di qualche aiuto in più

Detto questo, sono a chiedere la prima mano...

$ f (x) = (sqrt(3^x-27) )/(x*ln (x-3) $

"Indica in quale intervallo è negativa la seguente funzione"

Risultato: $ 3<x<4 $

Il mio svolgimento per il numeratore:
$ 3^x-27>=0 $
$ 3^x>=27 $
$ 3^x>=3^3 $
$ x>=3 $

Il mio svolgimento per il denominatore:
$ x*ln (x-3)>0 $
$ x-3>0 $
$ x>3 $

$ x*ln(x-3)>0 $ è comprensiva di un logaritmo naturale $ = e $ che dovrebbe essere $ e(x-3)^x>0 $
(correggetemi se sbaglio) da qui mi son bloccato perchè il $ 4 $ non sono riuscito a ricavarlo se non con calcoli assurdi che probabilmente erano inventati a caso.

Potreste darmi una mano? Grazie infinite

[tommik]

ciao @bao

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Intanto non è mai troppo tardi per iniziare e comunque vedo che scrivi molto bene ed in modo ordinato, al contrario di molti altri "studentelli spocchiosi"

Il primo punto è osservare che, aldilà della richiesta dell'esercizio (dove la funzione sia positiva, negativa ecc ecc), dovresti chiederti DOVE LA FUNZIONE ESISTE.

La funzione esiste per $x>3$ ma $x !=4$. Questo perché al numeratore hai una radice quadrata...il cui radicando non può essere minore di zero....mentre al denominatore hai un $ln(x-3)$ il cui argomento $(x-3)$ non può essere MAI minore o uguale a zero; inoltre dobbiamo escludere il valore $x=4$ perché azzera il denominatore¹....ergo il tuo campo di esistenza è $x in (3;4) uu(4;+oo)$

Ora, limitandoci all'intervallo $(3;4) uu(4;+oo)$ possiamo studiare la positività della funzione

1) il numeratore non è mai negativo...e quindi puoi anche non guardarlo

2) la $x$ al denominatore....se ci restringiamo al campo di esistenza della funzione non è mai negativa....e quindi nel cestino anche la $x$

3) per capire se e quando la funzione sia positiva o negativa ti basta studiare

$ln(x-3)$ che è positiva quando il suo argomento² è >1 quindi la funzione è positiva per $x-3>1$...porto di là il $3$ ed ottengo che la funzione è positiva per $x>4$

....e quindi è negativa quando $x<4$ e contemporaneamente $x>3$

da cui la soluzione $3<x<4$

---

Note

1. ricorda infatti che $ln1=0$ ↑
2. per questi ragionamenti torna comodo riferirsi al grafico della funzione logaritmo
   
   (cliccami per ingrandirmi)
   ↑

[bao]

Innanzitutto grazie per la disponibilità, e prima di rispondere ho riletto più volte il post e mi sono andato a cercare le varie informazioni aggiuntive che mi hai dato e "forse" mi erano un attimo sfuggite tra cui

ricorda infatti che ln1=0

e

ln(x−3) che è positiva quando il suo argomento2 è >1 quindi la funzione è positiva per x−3>1

Quindi ho capito che una condizione di esistenza andava bene per $ x>3 $ ma non ho capito come hai trovato il $ != 4$ prima ancora di svolgere i calcoli finali all'inizio del post

La funzione esiste per x>3 ma x≠4. Questo perché al numeratore hai una radice quadrata...

[gio73]

Ciao bao
a cosa ti riferisci con $!=0$?

Affinché il denominatore non si annulli dobbiamo evitare che $ln(x-3)$ sia uguale a 0, perciò dobbiamo evitare che l'argomento del logaritmo $(x-3)$, diventi 1, da cui capiamo di dover escludere $x=4$

[bao]

@gio73

Si perdonami, ho sbagliato a scrivere... volevo dire $ != 4 $

si si che non debba essere uguale a 0 sono d'accordo

Ho editato il messaggio

[gio73]

quindi ora tutto chiaro?