funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda Marco1005 » 30/05/2019, 19:56

Ciao a tutti , rieccomi qui sempre con un dubbio sulle derivate!
$ e^(-2x) $ la tratto come una funzione composta in quanto la sua derivata è $ -2e^(-2x) $ , perchè però non va trattata come una funzione elevata ad un'altra funzione? Alla fine si tratta sempre di $ f(x)^g(x) $ quindi perchè utilizzare $ f'(g(x))\cdot g'(x) $ piuttosto che la derivata dell'elevamento a funzione?
Grazie mille
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda gugo82 » 30/05/2019, 20:09

Supponiamo di volerla trattare come $[f(x)]^(g(x))$.
Chi è $f(x)$? E chi è $g(x)$?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda Marco1005 » 30/05/2019, 21:15

gugo82 ha scritto:Supponiamo di volerla trattare come $[f(x)]^(g(x))$.
Chi è $f(x)$? E chi è $g(x)$?


$ f(x) $ è $ e^(-2x) $ mentre $ g(x) $ è $ -2x $
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda axpgn » 30/05/2019, 21:17

Ahia ... quindi la tua funzione sarebbe $(e^(-2x))^(-2x)$ ... naaaa ...
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda Marco1005 » 30/05/2019, 21:42

axpgn ha scritto:Ahia ... quindi la tua funzione sarebbe $(e^(-2x))^(-2x)$ ... naaaa ...

La derivata non è $ -2e^(-2x) $ ? Quindi la mia $ f(x) $ è $ e^x $
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda axpgn » 30/05/2019, 21:53

Scusa ma hai detto che la tua funzione è $F(x)=e^(-2x)$.
Gugo82 ti ha chiesto di scriverla nella forma $F(x)=[f(x)]^(g(x))$ e quindi di definire, secondo te, quali siano $f(x)$ e $g(x)$
Con le due funzioni che hai detto non giungi alla funzione iniziale che hai postato
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda SirDanielFortesque » 30/05/2019, 22:15

@Marco1005
$f(x)=e$

$g(x)=-2x$

se vuoi sincerarti del fatto che $F(x)=e^(-2x)$ Se tu vai a derivare con il metodo che usi per il caso $[f(x)]^(g(x))$ ti accorgi immediatamente qual'è il punto della situazione e che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Sin dal primo passaggio.
Conoscete la storia del Conte Giacomo Ceconi?
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda Marco1005 » 02/06/2019, 23:14

E' vero che la mia $ f(x)=e $ e la mia $ g(x)=-2x $
Però il mio dubbio sta proprio nella forma iniziale :
Se è vero che la funzione è del tipo $ f(x)^g(x) $ è vero anche che la stessa definizione vale per una funzione elevata a funzione.
Anche la funzione elevata a funzione la scrivo come $ f(x)^g(x) $
Quindi non riesco bene a capire perchè non dovrei usare la formula della derivata di funzione elevata a funzione al posto della derivata di una funzione composta
So che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua perchè di mio ho capito che si risolve utilizzando la derivata della funzione composta ma vorrei capire il perchè non devo usare la formula di derivazione di funzione elevata a funzione
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda gugo82 » 02/06/2019, 23:34

Proviamo...

Se non ricordo male $"D"[f(x)^(g(x))] = f(x)^(g(x))*[g^\prime (x) * log f(x) + g(x) * (f^\prime (x))/(f(x))]$ e, visto che $f^\prime (x) = 0$ e $g^\prime (x) = -2$, si ha:
\[
\operatorname{D}[e^{-2x}] = e^{-2x}\cdot [-2 \log e -2x \cdot \frac{0}{e}] = -2e^{-2x}\; ,
\]
che è sempre lo stesso risultato... E bella forza: la formula di derivazione di $f(x)^(g(x))$ è una conseguenza della regola di derivazione della funzione composta (e del prodotto), quindi non può in alcun modo restituire un risultato differente!

A parte ciò, la formula per la derivazione di $f(x)^(g(x))$ è senz'altro più difficile da ricordare della regola di derivazione della funzione composta e questo dovrebbe farti sempre propendere per la scelta della seconda.
Per farti capire: è come se volessi derivare la funzione $1/x^3$ usando la regola di derivazione del quoziente (nono, non si fa!) invece che quella della potenza (che si può applicare più facilmente, dato che $1/x^3 = x^(-3)$).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: funzione composta o funzione elevata a funzione?

Messaggioda Marco1005 » 06/06/2019, 21:24

gugo82 ha scritto:Proviamo...

Se non ricordo male $"D"[f(x)^(g(x))] = f(x)^(g(x))*[g^\prime (x) * log f(x) + g(x) * (f^\prime (x))/(f(x))]$ e, visto che $f^\prime (x) = 0$ e $g^\prime (x) = -2$, si ha:
\[
\operatorname{D}[e^{-2x}] = e^{-2x}\cdot [-2 \log e -2x \cdot \frac{0}{e}] = -2e^{-2x}\; ,
\]
che è sempre lo stesso risultato... E bella forza: la formula di derivazione di $f(x)^(g(x))$ è una conseguenza della regola di derivazione della funzione composta (e del prodotto), quindi non può in alcun modo restituire un risultato differente!

A parte ciò, la formula per la derivazione di $f(x)^(g(x))$ è senz'altro più difficile da ricordare della regola di derivazione della funzione composta e questo dovrebbe farti sempre propendere per la scelta della seconda.
Per farti capire: è come se volessi derivare la funzione $1/x^3$ usando la regola di derivazione del quoziente (nono, non si fa!) invece che quella della potenza (che si può applicare più facilmente, dato che $1/x^3 = x^(-3)$).


Accidenti, bella risposta!!!grazie Gugo, non avevo proprio pensato al fatto che fossero collegate! Effettivamente l'esempio del quoziente che hai citato rende benissimo l'idea! Ora sì che sono convinto! :smt023
Grazie ancora!
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