Problema su induzione elettromagnetica

Messaggioda cooper280 » 09/06/2019, 17:21

Ciao ragazzi, avrei bisogno di aiuto su un problema di fisica in vista della seconda prova d'esame:
Sia $\phi\(t)=A*\e^(-\omega^2*\t^2)$ il flusso di un campo magnetico indotto attraverso un circuito, dove $\A$ è una costante con le dimensioni di un flusso magnetico, $\omega$ è una costante che ha le dimensioni dell'inverso di un tempo e $\t$ rappresenta il tempo misurato in secondi. Sapendo che la forza elettromotrice indotta $\f_(em)\(t)$ è l'opposto della derivata del flusso del campo magnetico:
a. scrivi per $\t\geq\0$ la funzione $\f_(em)\(t)$;
b. stabilisci per quale valore di $\omega\>\0$ la forza elettromotrice indotta è massima all'istante $\t=1$ e calcola il valore del flusso in tale istante per il valore di $\omega$ trovato.

Ho provato a risolvere calcolando la derivata prima della funzione $\f_(em)\(t)$ e trovando il punto di massimo ma ho ottenuto $\omega=0$ mentre i risultati della domanda b. dovrebbero essere:
$\omega=frac{1}{sqrt(2)}\ s^-1$; $\phi(1)=A*e^-frac{1}{2}$

Qualcuno mi può dire dove sto sbagliando?
P.S. Scusate per eventuali errori nella scrittura delle formule ma è la prima volta che le uso.
cooper280
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Re: Problema su induzione elettromagnetica

Messaggioda Camillo » 10/06/2019, 10:27

Fai vedere i conti che hai fatto :-D
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Re: Problema su induzione elettromagnetica

Messaggioda cooper280 » 10/06/2019, 11:30

Innanzitutto, essendo la forza e.m. indotta la derivata del flusso del campo magnetico rispetto al tempo, ho calcolato appunto la derivata e ho ottenuto:
$\f_(em)\(t)=-2A*\omega^2\*t*e^(-\omega^2*t^2)$;
dopodiché ho calcolato la fem per t=1 e ho ottenuto:
$\f_(em)(1)=\-2A*\omega^2\*e^(-\omega^2)$
Poi ho derivato per trovare i punti di massimo:
$f_(em)'(1)=4A*\omega*e^(-\omega^2)*(\omega^2\-1)$
Ho studiato il segno della derivata e ho ottenuto che la funzione $f_(em)(1)$:
è discendente per $\omega\leq\-1$ e per $0\leq\omega\leq\1$;
è ascendente per $-1\leq\omega\leq\0$ e per $\omega\geq\1$;
perciò se sono giusti i calcoli c'è un punto di massimo locale in $\omega=0$.
Solo che per essere giusto penso che il punto di massimo debba essere assoluto e non locale, altrimenti la funzione potrebbe assumere valori più alti per valori di $\omega\geq\1$, o almeno così mi viene da pensare :?
Però non capisco se sto sbagliando il ragionamento o i conti, oppure se ci sia qualche "parte" mancante a cui no ho pensato :-D
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Re: Problema su induzione elettromagnetica

Messaggioda Camillo » 10/06/2019, 16:40

La $fem $ indotta è pari alla derivata del flusso ma cambiata di segno.
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Re: Problema su induzione elettromagnetica

Messaggioda cooper280 » 11/06/2019, 10:32

Sono riuscito a risolverlo :-D
Innanzitutto ho calcolato la derivata del flusso rispetto al tempo (cambiando anche il segno):
$\f_(em)(t)=2\omega^2\*A*t*e^(-\omega^2\t^2)$
Poi, anziché derivare $\f_(em)(1)$ come avevo fatto in precedenza, ho derivato $\f_(em)(t)$:
$\f_(em)'(t)=\2\omega^2\*A*e^(-\omega^2\t^2)(1-2\omega^2\t^2)$
Ho sostituito il valore $t=1$ all'interno di essa, studiato il segno e ho ottenuto il punto di massimo in $\omega=frac{sqrt(2)}{2}$, quindi è giusto :D
Grazie Camillo per il suggerimento :smt023
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