Passa al tema normale
Discussioni su argomenti di matematica di scuola secondaria di secondo grado

Regole del forum

Consulta il nostro regolamento e la guida per scrivere le formule
Rispondi al messaggio

Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

10/06/2019, 21:08

Ciao a tutti, è il primo esercizio di questo tipo che affronto e vorrei sapere se è giusto.
Se è sbagliato, vorrei conoscere le motivazioni per capire meglio questo tipo di esercizi.

Grazie anticipatamente.

Traccia:
$ X $ , $ Y $ insiemi
$ X\\(X∩Y) = X\\Y $

Svolgimento:

$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y $
$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y ∧ x∉ Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ Y ⇔ x∈ X\\Y $

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

11/06/2019, 11:21

Nello "svolgimento" non si capisce che cosa tu intenda con la prima e la terza riga. Sarebbe meglio se scrivessi anche qualche parola, piuttosto che un muro di soli simboli. Credo che alla terza riga ci sia solo una svista (hai scritto ancora che \( x\not\in X\cap Y \)).

Sì comunque, in ogni caso dovrebbe essere \[
\begin{split}
x\in X\setminus(X\cap Y)&\Leftrightarrow x\in X\land x\not\in(X\cap Y)\\
&\Leftrightarrow x \in X\land\neg\left(x\in X\land x\in Y\right)\\
&\Leftrightarrow x\in X\land\left(x\not\in X\lor x\not\in Y\right)\qquad\qquad\text{(*)}
\end{split}
\] e allora hai la conclusione perché \( x \) soddisfa a (*) se e solo se appartiene al complementare per \( X \) di \( Y \).
Ultima modifica di marco2132k il 11/06/2019, 11:29, modificato 1 volta in totale.

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

11/06/2019, 11:28

Scusa Marco ma questa
marco2132k ha scritto:\begin{split}
x\in(X\cap Y)&\Leftrightarrow x\in X\land x\not\in(X\cap Y)\\
\end{split}


non mi pare corretta …

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

11/06/2019, 11:30

Ho corretto, grazie @axpgn!

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

11/06/2019, 13:31

In effetti la prima riga è un mio errore.
Alla terza riga anche, ho ripetuto che $ x∉ X∩Y $ .

Comunque, ho sbagliato praticamente tutto e la soluzione da voi postata è quella corretta? Oppure a parte la svista della terza riga anche la mia dimostrazione è giusta?

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

11/06/2019, 13:41

Ma la soluzione che abbiamo postato noi è identica a quello che hai fatto tu. Forse alla prima riga, quando hai scritto la tesi $x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y$, intendevi dire "ora dimostro questo", dato che è un'affermazione che non usi mai in seguito (e che sarebbe sbagliato usare: è la tesi!).

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

11/06/2019, 13:48

marco2132k ha scritto:Ma la soluzione che abbiamo postato noi è identica a quello che hai fatto tu. Forse alla prima riga, quando hai scritto la tesi $x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y$, intendevi dire "ora dimostro questo", dato che è un'affermazione che non usi mai in seguito (e che sarebbe sbagliato usare: è la tesi!).


Esattamente, con la prima riga intendo proprio questo...
Alla terza riga, è inutile ripetere che $ x ∉ X ∩ Y $ , non solo perchè l'ho già scritto alla seconda riga, ma anche perchè l'intersezione è anche un sottoinsieme di $Y$, quindi come ho scritto alla quarta riga, basta dire che $ x∈X ∧ x∉ Y $ , per spiegare che gli elementi appartengono soltanto all'insieme $X$ e non ad $Y$ o all'intersezione. E' giusto?

Quindi alla fine, correggendo, verrebbe:

$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y $
$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ Y ⇔ x∈ X\\Y $

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

12/06/2019, 11:14

Scusa, mi sono un attimo assentato. Sì, è corretto. Se \( x\in X\setminus(X\cap Y) \) è \( x\in X \) e contemporaneamente \( x\not\in(X\cap Y) \); allora che \( x\in X \) e (\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)) è vera, cioè è vero che "\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)", ma non può essere \( x\not\in X \), perché è vero il prodotto logico "e" (la somma logica "o" di due proposizioni è vera se e solo se almeno una delle due è vera).

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

12/06/2019, 13:24

marco2132k ha scritto:Scusa, mi sono un attimo assentato. Sì, è corretto. Se \( x\in X\setminus(X\cap Y) \) è \( x\in X \) e contemporaneamente \( x\not\in(X\cap Y) \); allora che \( x\in X \) e (\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)) è vera, cioè è vero che "\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)", ma non può essere \( x\not\in X \), perché è vero il prodotto logico "e" (la somma logica "o" di due proposizioni è vera se e solo se almeno una delle due è vera).


Ho capito, davvero grazie infinitamente per la disponibilità!
Rispondi al messaggio