matrice trasformazione

Salve, volevo capire se ci sta un metodo per risolvere questo esercizio:

Se T trasforma il vettore $(3,1)$ nel vettore $(-2,1)$, quale matrice è associata a T?

Sul libro mi ha spiegato un sistema per risolverlo usando delle equazioni, ma non riesco proprio a capirlo.
Grazie

Sul libro mi ha spiegato un sistema per risolverlo usando delle equazioni, ma non riesco proprio a capirlo.
Grazie

Vediamo questo metodo.

Esistono infinite soluzioni al tuo problema. Hai infatti fissato l'immagine di una retta, ma il comportamento lungo la direzione ad essa perpendicolare è libero di variare.

Ovviamente è possibile fissare una matrice se limiti l'attenzione a tipi particolari di trasformazioni. Per esempio, se ti limiti a matrici diagonali hai che
\[
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & b
\end{pmatrix}\,
\begin{pmatrix}
3 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\
1
\end{pmatrix}
\implies
a = -\frac{2}{3}\;\wedge\;b = 1.
\]
Ma anche
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}\;\text{e}\;
\begin{pmatrix}
0 & -2 \\
1/3 & 0 \\
\end{pmatrix}
\]
sono possibili soluzioni. Hai qualche idea su come scrivere una formula generale per trovare tutte le possibili soluzioni?