Esercizio logaritmi

Messaggioda Mattarella » 12/06/2019, 20:04

Salve a tutti,
mi sono bloccato su un'esercizio con i logaritmi:
$ ln(2x^3+4) = (6x^3)/(2x^3+4) $

Qualcuno elencarmi i passaggi pi immediati per risolverlo?
Grazie mille! :)
Mattarella
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Re: Esercizio logaritmi

Messaggioda SirDanielFortesque » 14/06/2019, 22:58

Devi fare un grafico. E' chiaro che non puoi determinare una soluzione esatta di questa equazione.

Disegni separatamente

$F(x)=(2x^3+4)ln(2x^3+4)$

$G(x)=6x^3$

Se lo fai vedi che in realtà non vi è soluzione.

Penso sia sufficiente una considerazione grafica.
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Re: Esercizio logaritmi

Messaggioda @melia » 15/06/2019, 09:00

Se vuoi semplificarti la vita, visto che $f(x)=2x^3+4$ è monotona biiettiva, puoi fare la sostituzione $2x^3+4=t$, l'equazione diventa $ ln t = (3t-12)/t$ che, come ha detto SirDaniel, puoi studiare graficamente. La forma più semplice mi pare $12/t=3-lnt$ che richiede il grafico di $y= 12/t$ e $y=3-lnt$, entrambe funzioni elementari da disegnare.
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Re: Esercizio logaritmi

Messaggioda mgrau » 17/06/2019, 17:05

SirDanielFortesque ha scritto:Devi fare un grafico. E' chiaro che non puoi determinare una soluzione esatta di questa equazione.

Domanda in generale: capita spesso di incontrare affermazioni di questo tipo. Ma in base a che cosa "è chiaro"? Come si riconoscono le equazioni per cui non c'è una soluzione analitica? E questione di esperienza, di mestiere, di pratica, o che altro?
O forse si va per differenza: si conosce una specie di catalogo di equazioni trattabili analiticamente, per cui le altre non lo sono?
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Re: Esercizio logaritmi

Messaggioda @melia » 17/06/2019, 18:14

In genere hanno solo soluzioni grafiche, a meno di casi particolari, le equazioni in cui compaiono sommate una parte algebrica e una trascendente, o due trascendenti di tipo diverso.

I polinomi, le frazioni algebriche, le radici di polinomi o di frazioni algebriche sono delle forme algebriche.

Esponenziali, Logaritmi, Funzioni goniometriche, Inverse delle funzioni goniometriche sono delle forme trascendenti.

In alcuni casi la somma di funzioni algebriche, per essere risolta, genera polinomi di grado superiore al secondo, se Ruffini non ci è di aiuto, è necessario, anche in questo caso, ricorrere alla soluzione grafica.
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Re: Esercizio logaritmi

Messaggioda mgrau » 17/06/2019, 19:55

Grazie del chiarimento
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Re: Esercizio logaritmi

Messaggioda axpgn » 17/06/2019, 20:32

Domanda per @melia:
Se $x$ è un numero algebrico allora il membro di destra dell'equazione è un numero algebrico mentre a sinistra, salvo casi particolari, avremo un numero trascendente.
Da ciò ne dedurrei che la soluzione di quell'equazione sarà, quasi sempre, un numero trascendente.
Corretto?

Cordialmente, Alex

P.S.: Giusto per non perdere il vizio dei "giochini" chiedo: data la funzione $y=ln(x)$ quante sono le coppie di coordinate $(x,y)$ tali che sia $x$ che $y$ siano razionali? Questa non è per @melia :D
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Re: Esercizio logaritmi

Messaggioda Mattarella » 17/06/2019, 22:38

Grazie a tutti per le risposte, credo di aver sbagliato qualcosa nello svolgimento dell'esercizio, il quale era:
trova l'equazione della retta tangente al grafico di $ y=7ln(2x^3+4) $ passante per l'origine

Io ho fatto cosi:

$f'(x) = 7*1/(2x^3+4)*6x^2$

$(y-f(x0)) = f'(x0)(x-x0)$

da cui sostituendo $x$ e $y$ con $0,0$

$ln(2x^3+4) = (42x^3)/(2x^3+4)$

Come si svolge l'esercizio in questo caso...?
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