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Risolvendo un integrale ho ottenuto questo risultato: $cos(arcsinx)$ che non sapevo come semplificare, poi con un'applicazione mi ha dato $cos(arcsinx)=sqrt(1-x^2)$. Potreste spiegarmi il perchè di questa conclusione?

L'arcoseno varia tra $-pi/2$ e $pi/2$, dove il coseno è positivo. Il seno dell'arcoseno di x, vale x,
$ sin (arcsinx)=x $, allora il coseno quanto vale? Tieni conto che è sempre positivo per via dell'intervallo di esistenza dell'arcoseno.

il coseno in quell'intervallo è: $cosx=sqrt(1-sin^2x)$

poniamo $y =arcsin(x)$

Sappiamo che



ovvero



ora, essendo evidentemente $sin(arcsin(x))=x$

otteniamo subito



che è come dire



fine

In modo del tutto simile puoi divertirti a dimostrare anche le altre relazioni note:

$sin (arc cos(x))$

$sin(arctan(x))$

$cos(arctan(x))$

Non capisco perchè nei libri non sono riportate queste formule. Se non fosse stato per questo esercizio non le avrei scoperte.

Il libro non può riportare tutto. Devi imparare a ragionare da solo.

Beh diciamo che agli inizi non dovrebbe essere così, una volta acquisita più abilità in matematica si possono lasciare all'allievo le dimostrazioni.