Discussioni su argomenti di matematica di scuola secondaria di secondo grado
14/06/2019, 08:05
Risolvendo un integrale ho ottenuto questo risultato: $cos(arcsinx)$ che non sapevo come semplificare, poi con un'applicazione mi ha dato $cos(arcsinx)=sqrt(1-x^2)$. Potreste spiegarmi il perchè di questa conclusione?
14/06/2019, 09:11
L'arcoseno varia tra $-pi/2$ e $pi/2$, dove il coseno è positivo. Il seno dell'arcoseno di x, vale x,
$ sin (arcsinx)=x $, allora il coseno quanto vale? Tieni conto che è sempre positivo per via dell'intervallo di esistenza dell'arcoseno.
14/06/2019, 09:17
il coseno in quell'intervallo è: $cosx=sqrt(1-sin^2x)$
14/06/2019, 09:45
poniamo $y =arcsin(x)$
Sappiamo che
$sin^2(y)+cos^2(y)=1$
ovvero
$sin(arcsin(x))*sin(arcsin(x))+cos^2(arcsin(x))=1$
ora, essendo evidentemente $sin(arcsin(x))=x$
otteniamo subito
$cos^2(arcsin(x))=1-x^2$
che è come dire
$cos(arcsin(x))=sqrt(1-x^2)$
fine
In modo del tutto simile puoi divertirti a dimostrare anche le altre relazioni note:
$sin (arc cos(x))$
$sin(arctan(x))$
$cos(arctan(x))$
14/06/2019, 11:50
Non capisco perchè nei libri non sono riportate queste formule. Se non fosse stato per questo esercizio non le avrei scoperte.
14/06/2019, 12:12
Il libro non può riportare tutto. Devi imparare a ragionare da solo.
14/06/2019, 12:32
Beh diciamo che agli inizi non dovrebbe essere così, una volta acquisita più abilità in matematica si possono lasciare all'allievo le dimostrazioni.
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