fasci di parabole e calcolo dell'area

Buongiorno, ho un problema a risolvere questo problema:

Considera la curva di equazione $y=2x^3-6x^2+2x+5$
1) Scrivi l'equazione del fascio di parabole con asse verticale e tangenti a y in F(1;3)
2) Tra le parabole del fascio aventi concavità verso l'alto, determina quella per cui l'area della regione colorata in figura è uguale a 1

Per prima cosa devi calcolare la tangente alla cubica in F. A dire la verità ti basta il suo coefficiente angolare.

si, ho calcolato il coefficiente angolare, solo che poi non so cosa devo farci con quello

Devi trovare il fascio di parabole con asse verticale, quindi del tipo $y=ax^2+bx+c$ che passa per (1,3) e la cui derivata in $x_0=1$ assume il valore del coefficiente angolare che hai appena trovato.

Il resto non lo so fare perché ... non so qual è la zona colorata in figura.

grazie mille, per l'ultimo punto ci penso io, grazie ancora

Buonasera, come hai risolto l'ultimo punto?

grazie mille, per l'ultimo punto ci penso io, grazie ancora

Non riesco a capire come trovare il punto di intersezione tra la curva e la parabola per calcolarmi poi l'integrale definito.

ci ho provato, però non so come trattare la parabola

ci ho provato, però non so come trattare la parabola

Va bene, grazie lo stesso

Mettendo a sistema fascio di parabole e cubica, si ottiene un’equazione di terzo grado che ha due soluzioni coincidenti in $x=1$ per via della tangenza. Abbassi di grado con Ruffini e trovi l’altro punto di contatto.