Probabilità nel continuo: paradossi

[mgrau]

C'è un noto problema che chiede: data una circonferenza, che probabilità c'è che una corda a caso sia minore del raggio?
Pare che, secondo l'approccio che si adotta, si ottengano risultati diversi, ossia:
1- si può considerare fra tutte le corde, quelle parallele ad una retta qualsiasi, dando per scontato che la direzione della corda sia irrilevante. Quindi si considera un sistema di corde parallele, e si trova subito che le corde minori del raggio sono quelle che distanza $d$ dal centro più dell'altezza del triangolo equilatero con lato uguale al raggio, $r > d > r/2sqrt(3)$, da cui la probabilità risulta $1 - sqrt(3)/2$.
2 - si può considerare, fra tutte le corde, quelle che hanno un estremo in un punto qualsiasi $A$ della circonferenza. Quindi si considerano le corde che passano per $A$ e formano un angolo che varia fra $0$ e $pi/2$ con il diametro passante per $A$. Si vede subito che gli angoli che danno luogo ad una corda più corta del raggio sono quelli maggiori di $pi/3$, da cui la probabilità $(pi/2 - pi/3)/(pi/2) = 1/3$
Immagino che l'inghippo sia nell'espressione "a caso", che non è ben definita, ma perchè? C'è una definizione "giusta"?
Qualcuno me lo sa spiegare, senza farla troppo difficile ( altrimenti non capisco) ?

[axpgn]

Ti riporto quello che ho letto tempo fa a riguardo del "Paradosso della corda di Bertrand" su un libro, diciamo, di "intrattenimento", quindi non dovrebbe essere complicato

"Nel 1888, Joseph Bertrand (1822-1900), presentò nel suo libro "Calcul de Probabilités" un interessante ed esemplare problema di teoria della probabilità, per dimostrare che per ottenere probabilità ben definite dev'essere definito altrettanto bene anche il metodo usato per generare la casualità.
Il problema era questo: << Prendete un triangolo equilatera inscritto in un cerchio e tracciate una corda a caso; qual è la probabilità che la corda sia più lunga di un lato del triangolo? >>
Bertrand descrisse tre metodi diversi per scegliere casualmente la corda, tutti e tre apparentemente validi, che però conducevano a risultati differenti generando il paradosso che in seguito prese il suo nome.
Se non esiste un unico modo per effettuare una scelta, non ci potrà essere una soluzione unica.
Una soluzione univoca di un problema si può trovare soltanto fornendo chiare specifiche sul modo di effettuare la scelta casuale."

I tre metodi sono questi:

1) Il metodo del punto casuale
Tracciate la corda prendendo due punti a caso sulla circonferenza, uno dei quali coincida con un vertice del triangolo.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se il secondo punto si troverà sull'arco compreso tra i due vertici restanti del triangolo, allora la corda sarà più lunga del lato del triangolo.
Poiché questo arco è lungo un terzo della circonferenza, la probabilità che una corda scelta a caso sia più lunga del lato del triangolo è di $1/3$

2) Il metodo del raggio casuale
Tracciate un raggio che passi per il punto medio di un lato del triangolo, poi scegliete un qualunque punto del raggio e tracciate la corda perpendicolare al raggio in quel punto.

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La corda sarà più lunga di un lato del triangolo se il punto scelto si trova tra il centro del cerchio ed il punto d'intersezione tra lato e raggio ovvero una volta su due.
Quindi la probabilità cercata è $1/2$

3) Il metodo del punto medio casuale
Scegliete un qualunque punto all'interno del cerchio e tracciate una corda di cui il punto scelto sia il punto medio.

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La corda sarà più lunga del lato del triangolo se il punto scelto si trova entro un cerchio concentrico di raggio pari a metà del raggio del cerchio iniziale.
Essendo l'area di questo cerchio interno pari a $1/4$ dell'area del cerchio iniziale, la probabilità cercata è $1/4$

Cordialmente, Alex

[mgrau]

Va bene, d'accordo. Posso però notare che quello che citi è più che altro una esposizione del paradosso, più che una spiegazione.
Inoltre, noto anche qualcosa che mi pare una fallacia nel ragionamento: si espongono tre modi per scegliere una corda a caso, e si suppone che così siano state date chiare specifiche per effettuare la scelta . Peccato che ciascuna di queste specifiche richieda a sua volta una scelta casuale: non si dovranno dare chiare specifiche anche per queste altre scelte?
O forse non è una fallacia, ma solo una omissione: magari si deve partire da un assioma, da una scelta che si assume casuale per fede, un po' come l'estrazione di un numero del lotto dall'urna, ovvero, nel continuo, la scelta di un punto su una retta (meglio, su un segmento). Dopo di che, se, a partire da questo, si costruiscono metodi più complessi, possono nascere differenze.
Per fare un esempio: se abbiamo l'arco di parabola $y = x^2$ con $0 < x < 1$, e volessimo scegliere un punto a caso sulla parabola, non è lo stesso scegliere a caso la x o la y: scegliendo la x, i punti sulla parabola saranno più fitti per x vicino a 1; e scegliendo a caso la y saranno più fitti per x vicino a zero.

[axpgn]

Va bene, d'accordo. Posso però notare che quello che citi è più che altro una esposizione del paradosso, più che una spiegazione …

Non mi pare e mi spiego … quello che Bertrand dice (e poi esemplifica così come hai fatto tu) è la necessità di "chiare specifiche sul modo di effettuare la scelta casuale" cioè, traduco volgarizzando, bisogna "mettersi d'accordo bene" su come deve essere effettuato l'esperimento se si vogliono avere dei risultati univoci; ma lui non dice che però sia "facile e/o semplice" mettersi d'accordo su cosa sia "chiaro" e "specifico", questo è un altro paio di maniche …
Detto in altro modo: Bertrand ha evidenziato lo stesso problema che hai evidenziato tu, perciò raccomanda attenzione, chiarezza, precisione ANCHE nel definire "scegliere a caso".
Peraltro, quando dici che anche "scegliere un punto a caso sulla circonferenza" è una scelta casuale che andrebbe anch'essa "chiaramente specificata", formalmente ti do ragione ma in pratica mi sembra che in questo caso si possa proseguire senza altri chiarimenti e possiamo andare avanti tranquilli ... no?

Cordialmente, Alex

[mgrau]

Peraltro, quando dici che anche "scegliere un punto a caso sulla circonferenza" è una scelta casuale che andrebbe anch'essa "chiaramente specificata", formalmente ti do ragione ma in pratica mi sembra che in questo caso si possa proseguire senza altri chiarimenti

Ovvero, consideriamo un assioma il fatto che sappiamo scegliere in modo univoco un punto a caso sulla circonferenza? Si può fare, anche se non ho proprio chiarissimo cosa distingue questa scelta da un'altra

[axpgn]

Più o meno sì ... potremmo prenderlo come un assioma e questo ci consentirebbe di non farci ulteriori domande; d'altra parte a me sembra che sia una scelta "ragionevole" dato che un punto su una circonferenza è "uguale" a tutti gli altri mentre per esempio una corda qualsiasi non lo è ...

[mgrau]

a me sembra che sia una scelta "ragionevole" dato che un punto su una circonferenza è "uguale" a tutti gli altri mentre per esempio una corda qualsiasi non lo è ...

Giusto!. Allora possiamo dire che una scelta casuale si può fare senza problemi solo fra oggetti indistinguibili.