Quello che hai già svolto non è sbagliato, ma segue una via lunga e tortuosa.
Partirei dal semplificare il problema prima di valutare i vari casi.
Una volta posta la condizione $ax>0 ^^ x!= -a$ senza spezzare il problema andrei a semplificare subito la questione:
$ log(|x+a|)-log(ax)>1 $ diventa prima
$ log(|x+a|/(ax))>log10 $ poi
$|x+a|/(ax)>10$ e, infine,
$|x+a|>10ax$ posso eliminare il denominatore perché è sempre positivo dalle condizioni di esistenza.
La disequazione rimasta è più semplice, inoltre, per togliere il modulo, posso osservare che $a$ e $x$ sono concordi, quindi se $x>0 ^^a>0 $ si ottiene $x+a>0$ sempre, mentre quando $a<0 ^^x<0$ si ottiene $x+a<0$ sempre.
Con queste considerazioni ottengo 2 casi
$\{(x>0 ^^a>0),(x+a>10ax):}$ e $\{(x<0 ^^a<0),(-x-a>10ax):}$
forse da qui riesci a completare il problema da solo.
