Chiarimenti su derivate

[Marco1005]

Ciao a tutti , volevo avere delle delucidazioni su questi esercizi:
$ X^x = X^x(log(x) + 1) $
Invece a me viene $ X^X * LNX $
Dove sbaglio nell'applicazione della formula?
Grazie a tutti in anticipo!

[axpgn]

Probabilmente sbagli qualche conto ... mostraci i tuoi passaggi ...

[Marco1005]

Probabilmente sbagli qualche conto ... mostraci i tuoi passaggi ...

Ciao! mi scuso per il ritardo.
Allora io ho applicato la formula di derivazione di $ a^x $
La quale mi restituisce appunto come derivata prima $ a^x\cdot LNa $
Nel mio caso al posto dalla $ a $ c’è la $ x $
Grazie a tutti per le risposte

[Zero87]

Allora io ho applicato la formula di derivazione di $ a^x $
La quale mi restituisce appunto come derivata prima $ a^x\cdot LNa $
Nel mio caso al posto dalla $ a $ c’è la $ x $

Attenzione, la formula che usi vale per un esponenziale in cui la base è un numero mentre qui sia base che esponente sono delle variabili.

Al buon vecchio liceo scientifico una quindicina di anni fa mi hanno messo come abitudine la seguente.
Tenendo conto che per l'esistenza di $x^x$ si ha $x>0$ puoi porre
$x^x = e^(log(x^x)) = e^(x log (x))$
non dico altro perché praticamente con due passaggi risolvo l'esercizio. Ti ho dato questa idea, posso spronarti a provare e vedere cosa succede ricordando che se $x^x = e^(x log(x))$ vale anche la sostituzione inversa...

[axpgn]

Allora io ho applicato la formula di derivazione di $ a^x $

… che non va bene in questo caso perché la base non è una costante (come nella formula che hai applicato) ma una funzione (in questo caso $x$)

Oltre al metodo indicato da Zero87 esiste una formula adatta al caso … ma non saprei dirti quale delle due è la più complicata da usare (in generale … )

[Marco1005]

Grazie a tutti e due per le risposte chiarissime, effettivamente avevo il timore che fosse così come dite però ho provato lo stesso per togliermi il dubbio perché sono quelle derivate un po' "vigliacche" che insinuano sempre qualche perplessità (almeno a me sicuro ahahah) infatti presto arriverò con altri post sulle derivate! Prima di fare altri post nuovi però appena ho un secondo provo la formula citata da Zero87 e scrivo qui sotto cosa sono riuscito ad ottenere!
Grazie mille ancora ragazzi

[Marco1005]

Allora io ho applicato la formula di derivazione di $ a^x $
La quale mi restituisce appunto come derivata prima $ a^x\cdot LNa $
Nel mio caso al posto dalla $ a $ c’è la $ x $

Attenzione, la formula che usi vale per un esponenziale in cui la base è un numero mentre qui sia base che esponente sono delle variabili.

Al buon vecchio liceo scientifico una quindicina di anni fa mi hanno messo come abitudine la seguente.
Tenendo conto che per l'esistenza di $x^x$ si ha $x>0$ puoi porre
$x^x = e^(log(x^x)) = e^(x log (x))$
non dico altro perché praticamente con due passaggi risolvo l'esercizio. Ti ho dato questa idea, posso spronarti a provare e vedere cosa succede ricordando che se $x^x = e^(x log(x))$ vale anche la sostituzione inversa...

Rieccomi dopo aver svolto l’esercizio:

la derivata di $ e^(x*logx) $ non è altro che:

$ e^(x*logx) * (1*logx) + (x * 1/x) $

quindi risulta $ e^(x*logx) (logx + 1) $

sapendo che $ e^(x*logx) = x^x $ allora posso riscriverla così

$ x^x (logx+1) $

mi chiedo nella mia enorme ignoranza perché però si è deciso di esprimere la potenza $ x^x $ proprio con il LN e non con il log

[Zero87]

mi chiedo nella mia enorme ignoranza perché però si è deciso di esprimere la potenza $ x^x $ proprio con il LN e non con il log

Premetto che ai miei tempi - quindici anni fa - ci avevano insegnato che $log$ era il logaritmo in base $e$ mentre $Log$ era quello in base 10. Poi in alcuni esami universitari $ln$ era il logaritmo naturale (in base $e$ dunque) mentre $log$ era usato per tutti gli altri tipi di logaritmo.
Lo spiego perché credo sia questo il fraintendimento.

Quindi scusami se ti ho dato dei dubbi, ma con $log$ intendevo il $ln$.

[Marco1005]

mi chiedo nella mia enorme ignoranza perché però si è deciso di esprimere la potenza $ x^x $ proprio con il LN e non con il log

Premetto che ai miei tempi - quindici anni fa - ci avevano insegnato che $log$ era il logaritmo in base $e$ mentre $Log$ era quello in base 10. Poi in alcuni esami universitari $ln$ era il logaritmo naturale (in base $e$ dunque) mentre $log$ era usato per tutti gli altri tipi di logaritmo.
Lo spiego perché credo sia questo il fraintendimento.

Quindi scusami se ti ho dato dei dubbi, ma con $log$ intendevo il $ln$.

Grazie mille per la precisazione, non scusarti,fin troppo gentile! Capisco bene che dopo molti anni i ricordi possano non essere lucidi al massimo,anche se di sicuro i tuoi sono molto più chiari dei miei (io sono dell'85, se l'87 del tuo Nick corrisponde al tuo anno siamo praticamente coetanei!! )
Comunque, un dubbio mi rimane ,perché la derivata di $ x^x $ deve per forza essere espressa con il logaritmo naturale?Non c'è un modo per esprimerla anche con il logaritmo in base 10?(perdonami ma io ho fatto ragioneria )

[Zero87]

Capisco bene che dopo molti anni i ricordi possano non essere lucidi al massimo,anche se di sicuro i tuoi sono molto più chiari dei miei (io sono dell'85, se l'87 del tuo Nick corrisponde al tuo anno siamo praticamente coetanei!! )
Comunque, un dubbio mi rimane ,perché la derivata di $ x^x $ deve per forza essere espressa con il logaritmo naturale?Non c'è un modo per esprimerla anche con il logaritmo in base 10?(perdonami ma io ho fatto ragioneria )

Ho qualche dubbio sulla lucidità - mi sono laureato nel 2013 e da quel momento sono impiegato in un'azienda privata (quindi matematica proprio... "Zero"!) -, comunque sì, sono un 87.

Sì, puoi pur sempre scrivere $x^x = a^(x log_a (x))$ in qualsiasi base $a>0$ e $a \ne 1$ sfruttando la proprietà solita $b=a^(log(b))$ che alla fine è un po' la definizione stessa del logaritmo.

Ricordo come fosse ieri, alle superiori che "il logaritmo in base $a$ di $x$ è definito come l'esponente da dare ad $a$ per avere $x$".