Sistema di primp grado

[fausto1947]

Buon giorno,
il nipote del mio vicino di casa mi ha chiesto aiuto per il seguente sistema:
Il libro di testo dice:
Per quali valori di "a" e "b" il sistema

2ax-by=3+a
5x+2y=2

è indeterminato? Per quali impossibile?

Il testo dà i seguenti risultati: a=-15, b=12; a=-5/4, b diverso da -15.

Chiedo scusa ma non so come scrivere il carattere "diverso".
Per quanto riguarda la prima parte non ho avuto alcun problema mentre non sono riuscito a spiegargli i risultati della parte impossibile.
Qualcuno può gentilmente aiutarmi? Ho studiato matematica più di 50 anni fa e sono un pò arruginito.
Fausto Novelli

[Sascia63]

Affinché un sistema lineare del tipo: $ { ( ax+by=c ),(a'x+b'y=c' ):} $ sia impossibile è necessario che $a/(a') =b/(b') != c/(c') $
In questo caso $(2a) /5=-b/2!=(3+a)/2$
Ne segue che $a=-5/4b, b!=12$

[fausto1947]

Grazie Sascia63 per la pronta risposta e devo dirti che fino lì c'ero arrivato, ma il libro di testo riporta a=-5/4(non di "b"), b diverso da -(meno)15.
Fausto Novelli

[gugo82]

Questi problemi con parametri si risolvono facilmente con il teorema di Cramer:

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite del tipo $\{ (a x + b y = c), (alpha x + beta y = gamma):}$ è:

1. determinato se e solo se il determinante dei coefficienti $D = |(a, b), (alpha, beta)| = a beta - b alpha$ è diverso da zero, ed in tal caso ha soluzione $\{ (x = 1/D D_x = 1/D |(c , b), (gamma , beta)|), (y = 1/D D_y = 1/D |(a, c), (alpha, gamma)|):}$;
   
   
2. indeterminato se e solo se $D = D_x = D_y =0$;
   
   
3. impossibile se e solo se $D=0$ ed almeno uno tra $D_x$ e $D_y$ è diverso da zero.

Nel tuo caso, il sistema $\{( 2a x - b y = 3 + a), (5 x + 2y =2):}$ ha associati i tre determinanti:

• $D = |(2a, -b), (5, 2)| = 4a + 5b$
  
  
• $D_x = |(3 + a, -b), (2, 2)| = 2(a + b + 3)$
  
  
• $D_y = |(2a, 3+a), (5, 2)| = -15 - a$

e perciò è:

1. determinato se $b != -4/5 a$ (o $a != -5/4 b$) con soluzione $\{(x = (2(a + b + 3))/(4a + 5b)), (y=- (a+15)/(4a + 5b)):}$,
   
   
2. indeterminato se e solo se $\{ (b = -4/5 a), (2(a + b + 3)=0), (-a-15=0):}$, ossia se $\{(a=-15), (b=12):}$,
   
   
3. impossibile se $\{(b = -4/5 a), (2(a + b + 3)!=0):} vv \{(b = -4/5 a), (a != -15):} $, ossia se $\{(b = -4/5 a), (a != -15):} $ (o $\{(a = -5/4 b), (b != 12):}$).

[fausto1947]

Grazie gugo82,
come già risposi a Sascia83 ero già arrivato a questi stessi risultati quindi, tu e Sascia83, praticamente, mi state dicendo che i risultati del libro di testo sono sbagliati, sulla qual cosa sono d'accordo con voi.
Di nuovo grazie mille a entrambi
Fausto Novelli