da gugo82 » 09/07/2019, 02:34
Questi problemi con parametri si risolvono facilmente con il teorema di Cramer:
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite del tipo $\{ (a x + b y = c), (alpha x + beta y = gamma):}$ è:
- determinato se e solo se il determinante dei coefficienti $D = |(a, b), (alpha, beta)| = a beta - b alpha$ è diverso da zero, ed in tal caso ha soluzione $\{ (x = 1/D D_x = 1/D |(c , b), (gamma , beta)|), (y = 1/D D_y = 1/D |(a, c), (alpha, gamma)|):}$;
- indeterminato se e solo se $D = D_x = D_y =0$;
- impossibile se e solo se $D=0$ ed almeno uno tra $D_x$ e $D_y$ è diverso da zero.
Nel tuo caso, il sistema $\{( 2a x - b y = 3 + a), (5 x + 2y =2):}$ ha associati i tre determinanti:
- $D = |(2a, -b), (5, 2)| = 4a + 5b$
- $D_x = |(3 + a, -b), (2, 2)| = 2(a + b + 3)$
- $D_y = |(2a, 3+a), (5, 2)| = -15 - a$
e perciò è:
- determinato se $b != -4/5 a$ (o $a != -5/4 b$) con soluzione $\{(x = (2(a + b + 3))/(4a + 5b)), (y=- (a+15)/(4a + 5b)):}$,
- indeterminato se e solo se $\{ (b = -4/5 a), (2(a + b + 3)=0), (-a-15=0):}$, ossia se $\{(a=-15), (b=12):}$,
- impossibile se $\{(b = -4/5 a), (2(a + b + 3)!=0):} vv \{(b = -4/5 a), (a != -15):} $, ossia se $\{(b = -4/5 a), (a != -15):} $ (o $\{(a = -5/4 b), (b != 12):}$).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)