Stabilire funzioni da grafici

[Stillife]

Salve a tutti amici,

ho cominciato a studiare le funzioni e non sono sicuro su come svolgere l'esercizio del quale posto l'immagine.

Si tratta di stabilire lnsieme di definizione ,insieme immagine delle funzioni mostrate e verificare se esse siano iniettive, suriettive, biunivoche.
MI piacerebbe mostrare le mie soluzioni e, dal momento che il libro non le riporta, spero possiate aiutarmi.

La prima non saprei definirla in formula, ma penso sia suriettiva e non iniettiva con ID =$RR$ e IM = $RR$

La seconda è una fuzione lineare, iniettiva, che esclude alcune immagini con ID = $RR$ e IM = $RR- {0}$, se l'immagine esclusa fosse $0$.
Inoltre è una funzione che pone certe condizioni del tipo $y=x+a$ con $x ge 0$ e $y=x-a$ con $xlt 0$

La terza mi pare una funzione di proporzionalita quadratica, ne suriettiva ne iniettiva del tipo $y=x^2-a$ con ID = $RR$ e
IM = un sottoinsieme di $RR$

Sono corrette queste conclusioni? I miei dubbi vengono dal fatto che senza riferimenti precisi mi sembra che si possa solo approssimare. È possibile ricavere le formule dai soli grafici, oppure è impossibile e/o non richiesto in questo caso?

[marco2132k]

Nono, è proprio l'esercizio che così non ha senso. Anche solo dire che "la seconda esclude alcune immagini" (se intendi "la seconda non è definita in \( 0 \)") è... nonsense. Come fai a saperlo?

Altra cosa. La seconda sembra la funzione seno (\( x\mapsto\sin(x-\pi) \)). Ma ancora, mancano informazioni.

Quando parli di una funzione dovresti sempre specificare chi sono il dominio e il codominio. Le conclusioni che trai su suriettività e iniettività sono sbagliate in partenza, altrimenti.

[Stillife]

Grazie per la risposta.

In assenza di ulteriori informazioni credevo dovessi intnderle come funzioni $f: RR rarr RR$.

Anche stabilendo questo non è possibile completare l'esercizio?

[3m0o]

Notazione: chiamerò le funzioni \( f_1, f_2, f_3 \) in ordine da destra verso sinistra.
Premessa: Come dice marco2132k l'esercizio in sé è un po' ambiguo, poiché potresti considerare molte cose. Effettivamente con dei grafici così generici è difficile determinare ogni cosa, e senza l'informazione del dominio e del codominio è impossibile determinare l'iniettività e la suriettività di una funzione. Secondo me comunque l'esericizio considera una generica funzione \( f \) che prende valori reali e restituisce valori reali. \( f : \operatorname{Dom}(f) \subseteq \mathbb{R} \to \operatorname{Im}(f) \subseteq \mathbb{R} \)
Il dominio \( \operatorname{Dom}(f) \) è un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) e così anche le immagini. Inoltre la prima potrebbe essere sia come dice marco2132k \( \sin(x- \pi ) \) se il pattern è ripetuto all'infinito sia a destra che a sinistra, ma potrebbe essere anche un polinomio di terzo grado se poi va a \( + \infty \) a destra e \( - \infty \) a sinistra.
Una funzione è iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.
Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio (non le immagini attento) è immagine di almeno un elemento del dominio.

Veniamo al tuo esercizio. E considero appunto in tutti e tre i casi \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
L'esercizio richiede di stabilire, insieme di definizione, insieme delle immagini, e inoltre determinare se siano iniettive, suriettive o biiettive. Giusto? Non richiede di determinare la funzione.

Detto ciò supponiamo che \(f_1 :\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sia associata ad una funzione polinomiale di 3 grado. In questo caso il dominio è \( \mathbb{R} \), le immagini \( \operatorname{Im}(f_1) = \mathbb{R} \).
È pertanto suriettiva, poiché codominio e immagine della funzione sono lo stesso iniseme. Non è iniettiva perché puoi trovare due valori distinti del dominio che restituiscono lo stesso valore all'interno delle immagini.

Supponiamo che \(f_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) sia associata alla funzione \( \sin(x- \pi ) \). In questo caso il dominio è \( \mathbb{R} \), le immagini \( \operatorname{Im}(f_1) = [-1,1] \).
Non è ne suriettiva, ne iniettiva.

Supponiamo che \(f_1: \mathbb{R} \to [-1,1] \) sia associata alla funzione \( \sin(x- \pi ) \). In questo caso il dominio è \( \mathbb{R} \), le immagini \( \operatorname{Im}(f_1) = [-1,1] \).
Pertanto è suriettiva, ma non iniettiva perché puoi trovare due valori distinti del dominio che restituiscono lo stesso valore all'interno delle immagini.

Come puoi vedere la suriettività e l'iniettività dipendono fortemente dal dominio e dal codominio.

La seconda funzione \( f_2 \) onestamente dal grafico proposto è difficile capire se lo zero appartenga o meno alle immagini e/o al dominio delle funzioni. Non è sicuramente lineare poiché è discontinua in zero. Anche se è definita a pezzi da funzioni lineari.
Ad ogni modo se includi lo zero nel dominio della funzione allora lo devi anche includere nel insieme delle immagini, se escludi lo zero nel dominio lo devi eslcudere anche nel insieme delle immagini.
Ad esempio potresti definire la funzione a pezzi in questo modo
\( f_2 : \mathbb{R} \backslash \{0\} \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \backslash \{0\} \subset \mathbb{R} \)
\[ f_2(x)=\left\{\begin{matrix}
x+a& \text{se} & x >0 \\
x-b& \text{se} & x <0
\end{matrix}\right. \]
In questo caso la funzione non è suriettiva ma iniettiva
Oppure
\( f_2 : \mathbb{R} \to\mathbb{R} \)
\[ f_2(x)=\left\{\begin{matrix}
x+a& \text{se} & x \geq 0 \\
x-b& \text{se} & x <0
\end{matrix}\right. \]
In questo caso è sia iniettiva che suriettiva, dunque biiettiva
O ancora
\( f_2 : \mathbb{R} \to\mathbb{R} \)
\[ f_2(x)=\left\{\begin{matrix}
x+a& \text{se} & x >0 \\
x-b& \text{se} & x \leq 0
\end{matrix}\right. \]
In questo caso è sia iniettiva che suriettiva, dunque biiettiva
come prima è difficile determinare da quel grafico se \(a=b \) anche se a me sembrerebbe di no.

La terza è sostanzialmente corretta \( f_3: \mathbb{R} \to \operatorname{Im}(f_3) \subset \mathbb{R} \), dove \( \operatorname{Im}(f_3)= [v,+ \infty ) \) dove \( v=-\frac{\Delta}{4a} \), \( a >0 \) è il vertice di \( f_3 \).
Come prima è difficile determinare se \(f_3(x) = (x-a)(x+a) \) come sembra oppure se \( f_3(x) = (x-a)(x+b) \) con \( a\neq b \).

Domandine: determina se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive, biiettive o niente di tutto questo.
\( f_3 : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f_3 : \mathbb{R} \to \operatorname{Im}(f_3) \)
\( f_3 : [0,+ \infty) \to \operatorname{Im}(f_3) \)

[marco2132k]

In assenza di ulteriori informazioni credevo dovessi intnderle come funzioni $f: RR rarr RR$.

Dipende dal contesto. In questo contesto, sì.

@3m0o forse c'è un typo nella tua \( f \) generica: è \( \operatorname{cod} f=\operatorname{im} f \), mentre forse la intendevi con codominio \( \operatorname{cod} f=\mathbb{R} \), dato che l'esercizio chiede anche di determinare la suriettività.

[3m0o]

In assenza di ulteriori informazioni credevo dovessi intnderle come funzioni $f: RR rarr RR$.

Dipende dal contesto. In questo contesto, sì.

@3m0o forse c'è un typo nella tua \( f \) generica: è \( \operatorname{cod} f=\operatorname{im} f \), mentre forse la intendevi con codominio \( \operatorname{cod} f=\mathbb{R} \), dato che l'esercizio chiede anche di determinare la suriettività.

Mi sono espresso male, era solo per mostrare che quando \( \operatorname{cod} f=\operatorname{im} f \) la funzione è suriettiva a prescindere. E che il codominio in realtà lo puoi definire come ti pare

[Stillife]

@3m0o
Ti ringrazio davvero per la tua dettagliata risposta, anche se alcune scritture mi sono oscure.

se includi lo zero nel dominio della funzione allora lo devi anche includere nel insieme delle immagini

Se considero, per esempio $f : NN rarr NN$ a cui associo la funzione $y=x+1$, in questo caso $0$ è compreso nel dominio ma non nell'$Im (f)$, è corretto?

Inoltre, per quanto riguarda i quesiti che poni alla fine, come ne stabilisco le proprietà se ignoro quali funzioni sono associate ai domini e codomini di ciascuna delle tre funzioni?

[@melia]

Buona spiegazione, ma sono in disaccordo con

Oppure
\( f_2 : \mathbb{R} \to\mathbb{R} \)
\[ f_2(x)=\left\{\begin{matrix}
x+a& \text{se} & x \geq 0 \\
x-b& \text{se} & x <0
\end{matrix}\right. \]
In questo caso è sia iniettiva che suriettiva, dunque biiettiva
O ancora
\( f_2 : \mathbb{R} \to\mathbb{R} \)
\[ f_2(x)=\left\{\begin{matrix}
x+a& \text{se} & x >0 \\
x-b& \text{se} & x \leq 0
\end{matrix}\right. \]
In questo caso è sia iniettiva che suriettiva, dunque biiettiva
come prima è difficile determinare da quel grafico se \(a=b \) anche se a me sembrerebbe di no.

la suriettività delle due forme di $f_2$, perché la funzione sia suriettiva deve essere
\( f_2 : \mathbb{R} \to\mathbb{R} -]-b,a[\)

[3m0o]

la suriettività delle due forme di $f_2$, perché la funzione sia suriettiva deve essere
\( f_2 : \mathbb{R} \to\mathbb{R} -]-b,a[\)

Si pardon! Mi è sfuggito per la fretta!

[3m0o]

[...]
Se considero, per esempio $f : NN rarr NN$ a cui associo la funzione $y=x+1$, in questo caso $0$ è compreso nel dominio ma non nell'$Im (f)$, è corretto? [...]

Corretto! Però questo non ti dà alcuna informazione sulla suriettività della funzione. Infatti quello che devi controllare è il codominio e le immagini coincidano non il dominio e le immagini.
Ad esempio \( f: \{ 0,1 \} \to \{2,3\} \); \( x \to x+2 \) è suriettiva perché il codominio che è \( \{ 2,3 \} \) e le immagini \( \operatorname{Im}(f)=\{2,3\} \) coincidono. E come puoi vedere il domino e le immagini sono differenti.

Inoltre, per quanto riguarda i quesiti che poni alla fine, come ne stabilisco le proprietà se ignoro quali funzioni sono associate ai domini e codomini di ciascuna delle tre funzioni?

Scusa non sono stato chiaro, con \( f_3 = (x-a)(x+a) \) dove \( a \in \mathbb{R} \) in tutti e tre i casi.