Salve a tutti, avrei un po di quesiti, tutti relativi alle esponenziali risolvibili con i logaritmi.
1) Perché a volte si usa il log e altre volte si usa LN – da cosa dipende l’utilizzo di uno o dell’altro (alcuni risultati di esercizi sono scritti con LN e altri con log ma non vedo il perché)
2) Quando al 2° membro (termini noti) compare una quantità negativa devo sempre trasformarla in positiva cambiandole di segno?
Chiedo aiuto anche nella risoluzione di questo esercizi:
esercizio 1)
$ 2^(x+2) + 4^(x+1) – 4^(x+3) = 2^x $
Trasformo i 4 in potenze di 2
Risultato finale prima dell’applicazione del log è
$ 2^x * 2 + 2^(2x) * 2^2 – 2^(2x) * 2^6 = 2^x $
Qui il libro applica il LN e non capisco perché, comunque applico anche io LN
$ Ln2^x + ln2 + ln2^(2x) + ln2^2 – ln2^(2x )+ ln2^6 = ln2^x $
Tutti I logaritmi con la x si annullano e mi rimangono solamente le quote numeriche, qui come procedo?
Il risultato è $ – ln20/ln2 $
Esercizio 2)
$ 3^x – 5*3^(1-x)<=2 $
$ 3^x – 5*3^1/3^x <= 2 $
Moltiplico entrambi i membri per $ 3^x $
$ 9x^2-15<= 2*3^x $
E qui non so come procedere
Il risultato è $ x<= log base 3 di 5 $
Esercizio 3)
$ 5*3^(1+x) + 6^(1-x)>0 $
$ 5*3^(1+x) + 6^1/6^x $
Applico il log
$ Log5+log3+xlog3+log6-xlog6$
$-xlog3+xlog6 < log6 + log3 + log5 $
Raccolgo la x
$ x*(log6 – log3)< log6+log3+log5 $
divido tutto per (log6-log3)
ottengo quindi
$ (xlog6+log3+log5)/(log6-log3) $
ll risultato del libro però è qualsiasi x appartenente a R
esercizio 4)
$ 9^(x-1 )+ 2*5^(1-2x) = 3^(2x-3) + 25^(1-x) $
Trasformo il 9 in potenza di 3 e il 25 in potenza di 5
$ 3^(2(x-1)) + 2*5^(1-2x )= 3^(2x-3) + 5^(2(1-x)) $
Applico i log a entrambi i membri
$ Log3^(2x-2) + log2 + log5^(1-2x) = log3^(2x-3) + log5^(2x-2) $
$ (2x-2)log3 + log2 + (1-2x)log5 = (2x-3)log3 + (2-2x)log5$
$2xlog3 – 2log3 + log2 + log5 – 2xlog5 = 2xlog3 – 3log3 + 2log5 – 2xlog5 $
Qui scompaiono tutti i termini con la x – come procedo?
Risultato = $ (log81+log5-log2)/(2log15) $
Esercizio 5)
$ 2*3^(x+1) – 3*2^(x+1 )< 2^(x+3) – 3^x $
Porto il $ -3*2^(x+1) $ a secondo membro e il $ 3^(x) $ al primo
$ 2*3^(x+1 ) + 3^x< 2^(x+3) +3*2^(x+1) $
Applico i Log
$ Log2 + log3^(x+1 )+ log3x < log2^(x+3) + log3 + log2^(x+1) $
$ Log2 + (x+1)log3 + xlog3 < (x+3)log2 + log3 + (x+1)log2$
$Log2 + xlog3 + log3 + xlog3 < xlog2 + 3log2 + log3 + xlog2 + log2 $
Elimino i termini simili e porto le x a sinistra
$ 2xlog3 – 2xlog2 < 3log2 $
Raccolgo la x ma non mi risulta
$ x<(log2)/(log3-log2) $
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!!