Problema logica volume cono

[abbidubbi]

Ciao a tutti,
nel seguire un percorso di letture mi sono
ritrovato a ragionare sulla dimostrazione della
formula per il calcolo del volume di un cono.
Girovagando su Google non ho trovato risposte e
ho deciso di chiedere aiuto alla vostra comunità.
Premesso che non ho una grande competenza in geometria,
mi è parso comunque utile (anche altri forse hanno di questi dubbi)
porre il quesito seguente:
se è vero, come effetivamente è vero, che la formula per il calcolo
del volume di un cono si ottiene moltiplicando l'area della sua base
per l'altezza e dividendo per tre, per quale ragione invece non si ottiene
un risultato corretto moltiplicando l'area del triangolo rettangolo
(apotema-raggio-altezza) per la circonferenza del cerchio di base ??
So che a tanti questo mio dubbio apparirà troppo elementare,
però, credo, che una buona risposta possa aiutare la divulgazione.
Grazie mille a chi vorrà rispondere

[mgrau]

Ma non funziona così.
Non siamo noi che dobbiamo dimostrare che il tuo metodo è sbagliato (cosa che, incidentalmente, è semplice:dato che abbiamo già una formula buona, basta far vedere che la tua porta a risultati diversi) : sei tu che devi dimostrare che è giusto (come dicono i giuristi: onus probandi incumbit ei qui adfirmat)

[axpgn]

Comunque la formula di abbidubbi è quella per il volume di un cuneo dal profilo triangolare; prova a immaginare come trasformarlo in un cono

[abbidubbi]

Lungi da me l'idea di pretendere da Voi una dimostrazione.
Nel mio caso la questione è più terra terra.
Non essendo, come in premessa, competenete in geometria
pensavo solo che qualcuno potesse rispondermi, a parte
la validità della formula nota, con qualcosa del tipo:
"... hai detto una sciocchezza perchè la rotazione del
triangolo ovviamente...etc etc "
Grazie comunque per il tempo che mi hai dedicato

[abbidubbi]

Comunque la formula di abbidubbi è quella per il volume di un cuneo dal profilo triangolare; prova a immaginare come trasformarlo in un cono

Ma .. se la rotazione del triangolo sull'asse dell'altezza del cono (raggio-apotema-altezza) è completa a 360 gradi
la figura risultante non è un cono ??

[tommik]

Ma .. se la rotazione del triangolo sull'asse dell'altezza del cono (raggio-apotema-altezza) è completa a 360 gradi
la figura risultante non è un cono ??

infatti... e quindi ipotizzando di farlo ruotare attorno all'asse delle x così come in figura

(cliccami per ingrandirmi)


ottieni subito

$Vol_("Cono")=piint_(0)^(h)(r/h x)^2dx=pi r^2/h^2[x^3/3]_0^h=(pi r^2xxh)/3$


...che è proprio la nota formula ottenuta esattamente dal tuo ragionamento...

[abbidubbi]

avevo già visto la formula con l'integrale ed è ... perfetta sotto tutti i punti di vista.
Nell'intervallo da zero a ad h sommo le infinitesime "sfoglie" del cono fino ad avere
il valore completo, che è la terza parte del volume del cilindro.
Sebbene avessi dato il titolo di "problema logica volume cono" è evidente che non
sono riuscito a spiegarmi bene. Ci riprovo!!
Siamo tutti daccordo sul fatto che il volume del cilindro è dato dalla progressiva
"sovrapposizione", nell'intervalo da zero ad h, delle infinitesime "sfoglie"
di pigreco per raggio al quadrato.
Ora mi chiedo, ma per il cono... se calcolo l'area del triangolo (raggio-apotema-altezza) e,
facendo ruotare questo triangolo di 360 gradi, vado ad aggiungere progressivamente le
infinitesime "sfoglie" di area del triangolo suddetto, ossia tante aree tanto quanto è lunga
la circonferenza di base del cono, ottengo un volume che è quello di un cuneo ma ...
non dovrebbe essere altresi vero che questo equivale anche al volume del cono ???

[@melia]

No, non dovrebbe.
Quando parli del cilindro sovrapponi i cerchi come se fossero delle "sfoglie", con il cono, invece, passi ai triangoli, invece dovresti fare riferimenti a cerchi di raggio variabile. Il problema è nel fatto che il raggio sia variabile e non costante.

[abbidubbi]

No, non dovrebbe.
Quando parli del cilindro sovrapponi i cerchi come se fossero delle "sfoglie", con il cono, invece, passi ai triangoli, invece dovresti fare riferimenti a cerchi di raggio variabile. Il problema è nel fatto che il raggio sia variabile e non costante.

Buongiorno @melia,
nel cercare di restare in uno stretto ambito di logica, nello specifico campo concettuale del calcolo infinitesimale,
il fatto che si prendano "sfoglie" di cono nell'intervallo da zero ad h, a prescindere dal fatto che il raggio sia variabile (questo è irrilevante nell'algoritmo di integrazione), non è concettualmente diverso dal fatto che si prendano "sfoglie" di triangolo (di area definita e fissa) e le si sommi, o si calcoli l'integrale se preferisci, nell'intervallo definito dalla lunghezza della circonferenza del cerchio di base del cono.
Considera che questo sopra è il ragionamento teorico, perchè la formula che funziona, quella verificata, è
pigreco per raggio al quadrato per altezza diviso tre.
L'aiuto che cercavo, da profano in geometria, è perchè non funziona l'integrazione lungo l'intervallo della linea curva dellla circonferenza, diversamente da quella operante sul segmento dell'intervallo da zero ad h.

[@melia]

Prova a fare la cosa artigianalmente: riesci a costruire un cilindro sovrapponendo dei fogli circolari tutti con lo stesso diametro. Per avere un cono devi sovrapporre fogli circolari a raggio decrescente. Non puoi ottenere un cono sovrapponendo triangoli rettangoli. Non puoi pensare che sovrapporre triangoli rettangoli o farli ruotare sia la stessa cosa. Per trovare il volume di un solido di rotazione si usano gli integrali nella nota formula $V= int_a^b pi*[f(x)]^2* dx$, che poi non è altro che la somma di tutti i volumetti ottenuti dalle aree dei cerchi $pi*[f(x)]^2$ moltiplicata per la loro altezza infinitesima $dx$.