Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda Marco1005 » 01/08/2019, 15:31

Ciao a tutti, rieccomi di nuovo !!

Domanda teorica:
Quando a primo membro una quantità negativa (esempio x(log3 – log5)) dovevo cambiare il verso della disequazione senza però cambiare il segno dei rispettivi componenti?
E quando a secondo membro ho valori negativi devo sempre cambiare il segno?
Posso usare il log solo quando di mezzo non ci sono delle addizioni come detto da @melia; e quando ci sono delle sottrazioni invece, posso usarlo il log?

Ora posto due esercizi che non mi sono riusciti :?

esercizio 1)

$3-3^(x+1) < 5^(x) – 15^(x)$
$3-3^(x) * 3^(1) < 5^(x) – (3*5)^(x)$
Applico il log in base 5
$Log3 – log3^(x) + log3 < x – (log3^(x) + x)$
$Log3 +log3 < x-x$

Qui mi blocco perché il risultato del libro è completamente diverso
$0< x < + Log53$

Esercizio 2)
$(3/4)^(^(x+1))< 5^(x)$
$(3/4)^(^1)*(3/4)^(^(x)) < 5^(x)$
Applico il log
$Log3/4^(x) + log3/4 < log5^(x)$
$Log3/4^(x) – log5^(x) < -log3/4$
A questo punto a sinistra raccogliendo ho una quantità negativa, quindi inverto il segno della disequazione senza cambiare segno (giusto?)
$X(log3/4 – log5) > - log3/4$
La riscrivo
$x> - ((log3 – log4))/(log3-log20)$

il risultato del libro però è $x> - (log4-log3)/(log20-log3)$
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda @melia » 01/08/2019, 16:18

Caspita Marco, lo stesso errore della volta scorsa. NON puoi passare al logaritmo una somma e trasformarla come somma dei logaritmi.
Se hai $a+b=c$ e passi al logaritmo ottieni $log(a+b)=log c$ e non puoi scrivere $loga+logb=log c$
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda Marco1005 » 01/08/2019, 17:28

@melia ha scritto:Caspita Marco, lo stesso errore della volta scorsa. NON puoi passare al logaritmo una somma e trasformarla come somma dei logaritmi.
Se hai $a+b=c$ e passi al logaritmo ottieni $log(a+b)=log c$ e non puoi scrivere $loga+logb=log c$


Ok, però ad esempio come risolvo allora $ 3-3^(x)*3^1 $ ?
In questi casi quando non si semplificano addizioni e sottrazioni io non so davvero cosa fare e mi perdo! :cry:
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda Zero87 » 01/08/2019, 21:28

Marco1005 ha scritto:Ok, però ad esempio come risolvo allora $ 3-3^(x)*3^1 $ ?

Puoi provare a raccogliere $3(1-3^x)$ e dall'altra parte puoi vedere se raccogliere $5^x$.
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda Marco1005 » 02/08/2019, 19:56

Zero87 ha scritto:
Marco1005 ha scritto:Ok, però ad esempio come risolvo allora $ 3-3^(x)*3^1 $

Puoi provare a raccogliere $3(1-3^x)$ e dall'altra parte puoi vedere se raccogliere $5^x$.


Rieccomi! hai ragione!!! Era l'unica cosa da fare e io ovviamente non l'ho fatta! :oops: Raccogliendo risulta:
$ 3(1-3^x)<5^x(1-3^x) $
Applico il logaritmo in base 5 e risulta:
$ log3+log(1-3^x)<log5^x+log(1-3^x) $
Elimino i termini simili e mi rimane
$ -x<-log3 $ cambio tutti i segni e quindi il verso della disequazione ma il risultato però è $ x>log3 $
Dove sbaglio?:-(
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda Zero87 » 02/08/2019, 20:56

Marco1005 ha scritto: $ 3(1-3^x)<5^x(1-3^x) $
Applico il logaritmo in base 5 e risulta:
$ log3+log(1-3^x)<log5^x+log(1-3^x) $

Ti faccio una domanda, devi per forza applicare il logaritmo ad entrambi i membri?

Mi potresti dire perché ti faccio questa domanda, allora ti porgo un esempio.
$1-3^x$ -> campo di esistenza $\RR$
$log(1-3^x)$ -> campo di esistenza $3^x < 1$ ovvero $x<0$.

Passare ad applicare il logaritmo ad ambo i membri può portare a perdere delle informazioni.

Opinione strettamente personale, da qui
Marco1005 ha scritto: $ 3(1-3^x)<5^x(1-3^x) $

Avrei direttamente studiato in modo separato i casi $1-3^x > 0$, $1-3^x = 0$ e $1-3^x < 0$ così facendo, per ogni caso, puoi direttamente fare le opportune semplificazioni e vedere le soluzioni che trovi rispetto al caso di partenza. Senza passare per i logaritmi.
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda Marco1005 » 02/08/2019, 22:38

Zero87 ha scritto:
Marco1005 ha scritto: $ 3(1-3^x)<5^x(1-3^x) $
Applico il logaritmo in base 5 e risulta:
$ log3+log(1-3^x)<log5^x+log(1-3^x) $

Ti faccio una domanda, devi per forza applicare il logaritmo ad entrambi i membri?

Mi potresti dire perché ti faccio questa domanda, allora ti porgo un esempio.
$1-3^x$ -> campo di esistenza $\RR$
$log(1-3^x)$ -> campo di esistenza $3^x < 1$ ovvero $x<0$.

Passare ad applicare il logaritmo ad ambo i membri può portare a perdere delle informazioni.

Opinione strettamente personale, da qui
Marco1005 ha scritto: $ 3(1-3^x)<5^x(1-3^x) $

Avrei direttamente studiato in modo separato i casi $1-3^x > 0$, $1-3^x = 0$ e $1-3^x < 0$ così facendo, per ogni caso, puoi direttamente fare le opportune semplificazioni e vedere le soluzioni che trovi rispetto al caso di partenza. Senza passare per i logaritmi.


È come quando studi le soluzioni di $ X^3(x-1) $ studiando separatamente i due fattori e incrociando le soluzioni risulta che x è compreso tra 0 e 1. In questo caso è il medesimo discorso,hai ragione! Gran bel ragionamento! Non capivo infatti perché il valore dovesse essere compreso quando la disequazione faceva supporre altro!
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda axpgn » 02/08/2019, 22:49

Per favore non quotare i messaggi per intero, soprattutto quelli appena precedenti: è una cosa del tutto inutile e molto fastidiosa; per rispondere si usa il tasto "RISPONDI" non il tasto "CITA"
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda Marco1005 » 03/08/2019, 00:35

Ok
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Re: Problemi con equazioni esponenziali risolvibili con logaritmo(parte 2!!)

Messaggioda Zero87 » 03/08/2019, 10:20

Marco1005 ha scritto:È come quando studi le soluzioni di $ X^3(x-1) $ studiando separatamente i due fattori e incrociando le soluzioni risulta che x è compreso tra 0 e 1. In questo caso è il medesimo discorso,hai ragione!

Sì il meccanismo è quello (l'esercizio è diverso però, eh! :D ). Inoltre ho distinto tre casi perché:
- se $1-3^x = 0$ il tutto diventa un banale $0<0$ che è impossibile e non c'è soluzione;
- se $1-3^x > 0$ puoi dividere per questa quantità entrambi i membri senza cambiare verso perché si tratta di una quantità positiva, poi studi la disequazione e vedi che soluzione hai (e alla fine intersecala con $1-3^x >0$);
- se $1-3^x <0$ puoi fare come sopra ma, essendo una quantità negativa, la disequazione cambia di verso se dividi ambo i membri per quella quantità; poi procedi allo stesso modo di sopra.

Buon fine settimana. :smt039
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