Esercizio di Probabilità

[paoloelettronico96]

Tre arcieri tirano una freccia ciascuno per colpire il bersaglio. La probabilità che il primo colpisca il bersaglio è 1/3, per il secondo 1/4 e per il terzo 1/5.Qual è la probabilità che almeno una freccia colpisca il bersaglio?.
Ora io detto in maniera banale pensavo che se i tre arcieri si mettono insieme la probabilità totale del centro del bersaglio dovrebbe aumentare, e questa è pari alla somma delle tre probabilità dei tre arcieri in quanto i tre eventi sono incompatibili, se il primo centra il bersaglio l'altro non può centrarlo essendo già stata occupato il centro da un'altra freccia. La risposta è ovviamente sbagliata, e quella giusta è pari a 3/5, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi perché?

[superpippone]

Devi calcolare la probabilità contraria (ovvero che nessuno centri il bersaglio) e fare il complemento a 1.

$1-2/3*3/4*4/5=1-2/5=3/5$

[axpgn]

In prima battuta anch'io la penserei come te però se ci rifletti bene questo vorrebbe dire che se ci sono cento arcieri con probabilità $1/10$ di centrare il bersaglio allora la probabilità sarebbe superiore al 100% ... mmmm ...
Allora che si fa? È meglio cercare la probabilità contraria ovvero che nessuno faccia centro e poi prendere il complemento a $1$.
Quindi $2/3*3/4*4/5=2/5$ e il complemento è $3/5$

Cordialmente, Alex.

P.S.: ci ho messo troppo ... Ciao, superpippone

[tommik]

Ora io detto in maniera banale pensavo che se i tre arcieri si mettono insieme la probabilità totale del centro del bersaglio dovrebbe aumentare, e questa è pari alla somma delle tre probabilità ...

Per risolvere questo tipo di esercizi e capirne il significato, considera anche tutto lo spazio campionario, ovvero la distribuzione di tutto ciò che può succedere.

indicando con 0 l'evento "L'arciere X non colpisce il bersaglio" e con 1 l'evento "L'arciere X colpisce il bersaglio" ottieni quanto segue:

#	Arciere A	Arciere B	Arciere C	p
[1]	0	0	0	24/60
[2]	1	0	0	12/60
[3]	0	1	0	8/60
[4]	0	0	1	6/60
[5]	1	1	0	4/60
[6]	1	0	1	3/60
[7]	0	1	1	2/60
[8]	1	1	1	1/60
tot				60/60

la probabilità che almeno uno colpisca il bersaglio è appunto $1-p[0,0,0]=1-24/60=3/5$ oppure la somma di tutte le probabilità elementari....evento $[2]+[3]+...+[8]rarr p=3/5$

[axpgn]

In pratica è equivalente a lanciare tre monete che però hanno le facce con probabilità di uscita differenti …
Ecco, la (mia) difficoltà sta qui, nel "visualizzare" lo spazio campionario e gli eventi elementari; se il problema fosse stato presentato come "qual è la probabilità che su tre monete così e così si presenti una testa?" l'avrei compreso subito, così invece ho dovuto pensare alla probabilità contraria … mah …

Thank you, Tommik

[paoloelettronico96]

Grazie a tutti !