Aiuto con le combinazioni

[paoloelettronico96]

Un team deve essere composto da un direttore, un vice-direttore e quattro consulenti. Ci sono due candidati per la posizione di direttore, 3 per la posizione di vice-direttore e 7 per le posizioni da consulenti. Se 2 su 7 candidati per le posizioni da consulenti non possono essere inclusi nello stesso team, quanti diversi team è possibile formare?.
Qualcuno potrebbe spiegarmi il procedimento?
Io pensavo che il direttore può essere scelto in 2 modi, il vice in 3 e i quattro consulenti avevo pensato di fare due gruppi da 6 dove in ognuno c'è una sola delle due persone che non vogliono stare insieme, ma non mi trovo con il risultato, qualcuno può aiutarmi ?

[tommik]

150

[paoloelettronico96]

150

Gentilmente potresti spiegarmi il procedimento ?

[tommik]

...e i quattro consulenti avevo pensato di fare due gruppi da 6 dove in ognuno c'è una sola delle due persone che non vogliono stare insieme, ma non mi trovo con il risultato, qualcuno può aiutarmi ?

hai pensato bene....ma se ci rifletti meglio nel modo in cui hai ragionato tu hai duplicato alcune combinazioni...ergo...

Se proprio non riesci ti posto la soluzione ma penso che tu sia perfettamente in grado di risolvere....

[paoloelettronico96]

...e i quattro consulenti avevo pensato di fare due gruppi da 6 dove in ognuno c'è una sola delle due persone che non vogliono stare insieme, ma non mi trovo con il risultato, qualcuno può aiutarmi ?

hai pensato bene....ma se ci rifletti meglio nel modo in cui hai ragionato tu hai duplicato alcune combinazioni...ergo...

Se proprio non riesci ti posto la soluzione ma penso che tu sia perfettamente in grado di risolvere....

Allora ci sono quasi.
Abbiamo detto che il direttore può essere scelto in due modi.
Il vice direttore può essere scelto in 3 modi.
A questo punto ci rimangono i quattro consulenti. Se io so che ci sono 2 persone che non possono stare insieme, considero due gruppi da 6 dove in ognuno c'è uno dei due.
A questo punto ho un gruppo da 6 da cui devo scegliere quattro persone, io posso scegliere i candidati in $ 6*5*4*3 $ modi, ma visto che non importa l'ordine, tutti i possibili ordini sono $ 4*3*2*1 $ . Da questo arrivo a dire che in ogni gruppo ho in totale $ (6*5*4*3)/(4*3*2*1)=15 $ modi. Quindi considerando lo stesso per l'altro gruppo altri 15 modi, ottengo in totale che ho 30 modi per poter scegliere i consulenti. Devo però togliere a questi i doppioni nel caso in cui non sia presente uno dei due che non vuole stare con gli altri, ma solo i restanti 5 che non fanno problemi. Quindi costruisco un ulteriore gruppetto da 5, fatto da quelli che non fanno problemi, e ottengo in totale $ (5*4*3*2*1)/(4*3*2*1)=5 $ combinazioni comuni. Quindi ho in totale 2 modi per il direttore, 3 per il vice direttore, $ (30-5)=25 $ per i consulenti. Alla fine della fiera
$ 2*3*25=150 $ modi per scegliere il gruppo totale.
Grazie di aver postato il risultato, è stato soddisfacente arrivarci da solo
P.S per caso c'era un modo più veloce ?

[Bokonon]

P.S per caso c'era un modo più veloce ?

Con le combinazioni ordinate senza ripetizione.
Se non ci fosse stato il vincolo la formula sarebbe stata $C(2,1)*C(3,2)*C(7,4)$
Con il vincolo dobbiamo sottrarre dalle $C(7,4)$ tutte le quaterne che contengono i due consulenti incompatibili ovvero $C(5,2)$ quindi diventa $C(2,1)*C(3,2)*[C(7,4)-C(5,2)]=150$

[paoloelettronico96]

Grazie !!!