Tartaglia

[3m0o]

Salve un ragazzo delle medie, che sta affrontando i prodotti notevoli e a cui non piace impararsi i prodotti notevoli a memoria (giustamente), mi ha domandato perché i coefficienti del triangolo di tartaglia sono i coefficienti che trovi poi nello sviluppo del prodotto notevole. Io non ho saputo spiegarglielo in modo intuitivo. Nel senso non ha idea di cosa si un coefficiente binomiale di Newton, etc.
Come posso spiegarglielo in modo che con le sue conoscenze lo capisca?
Grazie per il suggerimento.

[axpgn]

… a cui non piace impararsi i prodotti notevoli a memoria (giustamente),

Beh, un minimo sforzo potrebbe farlo (ma proprio minimo); i prodotti da imparare a memoria sono solo tre:
- il prodotto della somma di un binomio per la differenza
- il quadrato di un binomio
- il cubo di un binomio
Per le altre potenze, se proprio non vuole, c'è appunto il triangolo di Tartaglia che è facile da costruire oppure, ancor più semplice, i coefficienti li può costruire direttamente sapendo che deve moltiplicare il precedente per un intero decrescente e dividere per un intero crescente.
Esempio con la quarta potenza:
Il primo coefficiente è $1$
Per il secondo devi moltiplicare il primo coefficiente per $4$ e dividere per $1$ cioè $1*4/1=4$
Per il terzo devi moltiplicare il secondo coefficiente per $3$ e dividere pe r$2$ cioè $4*3/2=6$
E così via, ricordando che essendo simmetrici basta arrivare a metà.

Più precisamente cos'è che vuole sapere? Con un po' di combinatoria gli si può dimostrare perché il prodotto di $n$ binomi uguali generi $n+1$ monomi con quei precisi coefficienti.

IMHO

[3m0o]

No mi sono spiegato male, sa i prodotti notevoli, e sa costruire il triangolo di tartaglia, ma non capisce il motivo per cui i coefficienti del binomio elevato alla $n$ sono i numeri dell'$(n+1)$-esima riga del triangolo ti tartaglia. E io senza tirare in ballo i coefficienti binomiali e calcolo combinatorio (argomenti che non ha fatto) non so spiegargli il motivo.

Edit:
La costruzione del triangolo di tartaglia l'ha vista nel modo più semplice ovvero, prima riga 1, seconda riga 1,1 terza riga 1, 1+1, 1 quarta riga 1, 1+2,2+1,1, etc... non con i coefficienti binomiali. Chiaramente se potessi dimostrarli che \[ (a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \]
e se sapesse che il triangolo di tartaglia è costruito come \( C_{n,k} =\binom{n}{k} \), dove $n$ indica la riga e $k$ indica la posizione sulla riga, sarebbe banale; però avendo la costruzione del triangolo precedente e avendo imparato i prodotti notevoli a memoria non riesce a vederne il motivo. E io non so come farglielo capire

[giammaria]

Puoi dimostrarglielo con l'induzione completa, magari senza entrare nei dettagli più rigorosi e limitandoti ad un esempio, sul tipo di quello che faccio ora.
Supposto di sapere che

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

allora abbiamo

$(a+b)^4=(a+b)(a+b)^3=(a+b)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=$
$" "=a^4+3a^3b+3a^2b^2+ab^3+ a^3b+3a^2b^2+3ab^3+b^4=$
$" "=a^4+(3+1)a^3b+(3+3)a^2b^2+(1+3)ab^3+b^4$

e si vede che i coefficienti di questa riga sono ottenuti da somme di quelli della riga precedente.

Se vuoi e se ritieni che l'allievo riesca a seguirti, puoi generalizzare usando $C_(n,k)$, definito non come $((n),(k))$ ma come il coefficiente della riga $n$, al posto $k$. Conviene precisare che la numerazione parte da zero.

Non saprei invece dimostrare la regola indicata da axpgn senza usare la predetta formula.

[axpgn]

Secondo me, un pochino di combinatoria potresti insegnargliela e sarebbe sufficiente (io più delle basi non so, quindi … )

Spiegare cosa sono le disposizioni, le permutazioni e le combinazioni (esattamente in quest'ordine) e come si calcolano è abbastanza facile, a parer mio (Attenzione: io non dico che poi sia in grado di applicarle per bene e riconoscerle nei problemi; no, io dico che è sufficiente che capisca il concetto)
Poi prendi per esempio il cubo del binomio $(a+b)^3$ ovvero una moltiplicazione di tre fattori uguali $(a+b)(a+b)(a+b)$.
Il risultato di questa moltiplicazione (di ogni moltiplicazione) si ottiene prendendo un termine da ognuno dei tre fattori quindi avremo $a*a*a$ e $a*a*b$ e $a*b*a$ ecc. e da qui è possibile far vedere (o meglio, far intuire) che la quantità di monomi uguali è un "fatto" combinatorio che discende da quanto spiegato prima.
Io non credo che capirà tutto e bene (e neppure che sia in grado di rifarlo) ma penso che l'idea, il concetto arrivi … IMHO

[Bokonon]

Penso che alla fine tu debba spiegargli come funzionano le combinazioni.
Un buon modo per spiegarle insieme al binomio di Newton potrebbe essere questo.
Innanzitutto fai notare che dato $(a+b)^n$ la somma di tutti i coefficienti del suo sviluppo si ottiene facilmente ponendo i parametri $a=b=1$ per cui si ottiene $2^n$

Poi puoi farlo ragionare sui seguenti sviluppi e solo dopo porre $b_1=b_2=...=b_n=b$

$(a+b_1) (a+b_2)=a^2+a(b_1+b_2)+b_1b_2$

$(a+b_1)(a+b_2)(a+b_3)=a^3+a^2(b_1+b_2+b_3)+a(b_1b_2+b_1b_3+b_2b_3)+b_1b_2b_3$

$(a+b_1)(a+b_2)(a+b_3)(a+b_4)=a^4+a^3(b_1+b_2+b_3+b_4)+a^2(b_1b_2+b_1b_3+b_1b_4+b_2b_3+b_2b_4+b_3b_4)+a(b_1b_2b_3+b_1b_2b_4+b_2b_3b_4)+b_1b_2b_3b_4$

$(a+b_1)(a+b_2)...(a+b_n)=a^n+a^(n–1)(b_1+b_2+...+b_n)+a^(n–2)(b_1b_2+b_1b_3+b_1b_4+...+b_(n–1)b_n)+a^(n–3)(b_1b_2b_3+b_1b_2b_4+...+b_(n–2)b_(n–1)b_n)+...+a(b_1b_2...b_(n–1)+ b_1b_2...b_(n–2)b_n+b_2b_3...b_n)+b_1b_2b_3...b_n$

Contando il numero di elementi dentro le parentesi, si ottengono i coefficienti.
E qui spieghi le combinazioni ordinate facendo notare ad esempio che $b_1b_2...b_(n–1)$ è il prodotto di $(n-1)$ elementi distinti da $n$ elementi.

A questo punto, passi al triangolo di Tartaglia, fai vedere che le somme per riga sono effettivamente sempre pari a $2^n$ e che i coefficienti sono appunto le combinazioni.
Infine spieghi come i coefficienti delle righe sono somme di coppie di coefficienti delle righe precedenti insegnando la proprietà fondamentale $C(n, k) = C(n-1, k)+C(n-1, k-1)$ (formula di Stifel).