Forma implicita della retta

Ciao, se io ho due punti in un piano cartesiano posso determinare la forma esplicita della retta passante per quei punti calcolando il coefficiente m e il termine noto q con le formule
\[
m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
q = -m\cdot x_1 +y_1
\]

ma se invece volessi determinare i coefficienti a, b e c che compaiono nella formula implicita, so che posso ricavare

\[
m = -\frac{a}{b}\\
q = -\frac{c}{b}
\]

ma non bastano m e q ho bisogno un'altra equazione? Supponiamo che m sia espresso in formato virgola mobile dei calcolatori e che non possa ricavare la frazione generatrice.
Se porto tutti i termini della forma esplicita a destra dell'equazione ottengo
\[
m\cdot x -y+q=0
\]
in questo modo parrebbe che b sia sempre uguale a -1, ma è sbagliato. Come posso allora ricavare a, b e c?

Premesso che non ho capito molto ( ) perché sarebbe sbagliato?

Se hai la forma $ax+by+c=0$, puoi sempre dividere il tutto per $-b$ (tranne quando $b=0$ ovvero ? ) e quindi hai la nuova forma $-a/bx-y-c/b=0$ che è la stesa cosa

Premesso che non ho capito molto ( ) perché sarebbe sbagliato?

Se hai la forma $ax+by+c=0$, puoi sempre dividere il tutto per $-b$ (tranne quando $b=0$ ovvero ? ) e quindi hai la nuova forma $-a/bx-y-c/b=0$ che è la stesa cosa

Ciao, ho la forma esplicita e devo ricavare quella implicita. Sono giunto con delle sostituzioni a queste formule, non mi convincono però quelle per calcolare a e b.

\[
q = -m*x1+y1\\
a = y2-y1\\
b = -(x2-x1)\\
c = -b*q
\]
Il problema è "Dati due punti, trovare a, b e c dell'equazione della retta \(ax+by+c=0\)"

Non ho capito … devi trovare quella implicita partendo da quella esplicita o devi trovare quella implicita direttamente?

Credo di aver capito il dubbio e rispondo ricordandoti che una retta ha una sola forma esplicita ma infinite forme implicite. Ad esempio, la retta di forma esplicita $y=3/2x+1$ può essere scritta implicitamente come $3/2x-y+1=0$ ma anche come $3x-2y+2=0$ o come $-6x+4y-4=0$ o in infiniti altri modi.
In alcune delle formule che scrivi va aggiunto un fattore arbitrario.

Consiglio poi di non studiare a memoria troppe formule perché si confonderebbero fra loro; per la retta passante per due punti mi sembra indispensabile la $m=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)$ ma poi scriverei la retta come $y-y_1=m(x-x_1)$ (dove l'indice 1 indica uno qualsiasi dei due punti) e mi affiderei all'algebra per tutte le altre formule.

[tommik]

per la retta passante per due punti mi sembra indispensabile la $m=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)$

Secondo me no. Tieni presente che da quando ho studiato per la prima volta quella formula¹, ovvero ormai 40 anni fa, non sono mai riuscito a ricordarmela a memoria però, sapendo che nei triangoli rettangoli in figura il rapporto fra i cateti è costante (l'$m$, appunto)

(click per ingrandire l'immagine)




... basta utilizzare questa proprietà geometrica per trovare subito

$(y-y_1)/(x-x_1)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$

che è una delle possibili formule implicite della retta passante per i due punti assegnati: $P_1=(x_1;y_1)$ e $P_2=(x_2;y_2)$

Potrà sembrarti singolare ma, anche oggi, ogni volta che devo fare un calcolo del genere, rifaccio il disegnino e ragiono così....

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Note

1. intendo quella della retta passante per due punti, ovviamente ↑

Ultima modifica di tommik il 20/08/2019, 15:39, modificato 2 volte in totale.

OK grazie a tutti per il chiarimento.

@ tommik
Hai ragione, ma è anche vero che in matematica molte formule possono essere non ricordate ma ricavate al momento del bisogno; ognuno di noi ne ricorda alcune e ne ricava altre, ed è una cosa personale. Io trovo facile ricordare la formula per $m$, considerando anche la sua importanza nell'uso delle derivate.

Intervengo giusto, giusto per un commento non richiesto: avete ragione entrambi
Io faccio spesso come tommik, mi "ricostruisco" tante formule partendo dai concetti base (anche se ricordarsene qualcuno in più farebbe comodo talvolta).
D'altra parte non faccio parte della corrente di pensiero molto moderna del "niente a memoria, non serve, l'importante sono i concetti".
Sicuramente è fondamentale capire quello che si sta facendo ma ci sono un po' di cose (non tante ma nemmeno pochissime) che è essenziale conoscere; altrimenti è come riiniziare ogni volta dall'alfabeto anzi dalle aste

Sicuramente è fondamentale capire quello che si sta facendo ma ci sono un po' di cose (non tante ma nemmeno pochissime) che è essenziale conoscere; altrimenti è come riiniziare ogni volta dall'alfabeto anzi dalle aste

Probabilmente dipende dalla capacità di memoria di ciascuno...