Scomposizione trinomio di secondo grado

Ciao a tutti,
avrei un dubbio sul risultato della scomposizione del seguente trinomio di II grado
$-2x^(2) + 20x -50=0$
Divido tutto per 2
$-x^(2)+10x-25=0$
Ottengo la soluzione coincidente 5
Il risultato è quindi $–(x-5)^(2)$
I l libro non ha diviso per due e ha tenuto il trinomio iniziale – quindi la soluzione del libro è
$-2(x-5)^2$
Se però avessi deciso di cambiare il segno del trinomio dopo averlo diviso per due avrei ottenuto
$X^2-10x+25$
Soluzione coincidente 5
E il mio risultato sarebbe stato $(x-5)^2$
Se non avessi diviso per due il risultato sarebbe stato $2(x-5)^2$
A questo punto, vista la molteplicità di possibilità, perchè il libro mi propone come unica soluzione $-2(x-5)^2$ e non mi propone anche la sua alternativa $2(x-5)^2$
grazie

Dipende se l'esercizio richiede di risolvere un equazione di secondo grado o se ti chiede dato un polinomio di secondo grado di scriverlo in fattori irriducibili.
Se l'esercizio domanda la risoluzione dell'equazione di secondo grado
\[ -2x^2 + 20x -50 = 0 \ \ \ (1)\]
\[\Leftrightarrow -2(x-5)^2 = 0 \ \ \ (2)\]
\[\Leftrightarrow -(x-5)^2 = 0 \ \ \ (3)\]
\[\Leftrightarrow (x-5)^2 = 0 \ \ \ (4)\]
\[\Leftrightarrow 10000(x-5)^2 = 0 \ \ \ (5) \]
Siccome stai rispondendo alla domanda quali sono quei numeri che valutati nel polinomio di secondo grado mi danno zero, sfruttando i principi di equivalenza delle equazioni. Sebbene solo la (1) e la (2) sono la medesima equazione tutte le altre sono equazioni equivalenti e dunque hanno le medesime radici. Ma in ogni caso la risposta è \( x_1 = 5, x_2 = 5 \)

Se la domanda è scomporre in fattori irriducibili il polinomio \( p(x)= -2x^2 + 20x -50 \) allora l'unica risposta corretta al quesito è quella del libro in quanto \( p(x) = -2(x-5)^2 \neq -(x-5)^2 \)

Ciao ! ti ringrazio per le risposte sempre molto esaustive! la domanda dell'esercizio prevedeva la scomposizione del polinomio quindi l'unica risposta è quella da te citata!