Logica - prima superiore

[Mezzamela]

Ciao a tutti,
scrivo per un quesito.

Sto studiando logica sul mio libro di prima superiore; ho studiato: il significato di proposizione e di connettivi, il calcolo delle proposizioni, la negazione, la congiunzione e la disgiunzione logica.

Al termine di quest'ultimo argomento, il libro dice "vogliamo confrontare il linguaggio della logica con quello degli insiemi" e parte con questo esempio:

A={0,2,4,6} p: x è una cifra pari

B ={0,1,2,3,4,5} q: x è una cifra minore di 6

Se ora consideriamo l'insieme:

A intersecato B = {0,2,4}

vediamo che ad esso è associata la proposizione: p/\q: x è una cifra pari e minore di 6

Se invece consideriao l'insieme A U B = {0,1,2,3,4,5,6,8}

vediamo che ad esso è associata la proposizione: pVq: x è una cifra pari o un numero minore di 9

A questo punto mi blocco perchè: precedenetmente il libro afferma che "la particella "o" può avere due significati: "o l'uno o l'altro o entrambi", oppure "o l'uno o l'altro ma non tutti e due".

Quindi, se pVq: x è una cifra pari o un numero minore di 9, associata all'insieme nuovo AUB, perchè non c'è il 7??? E' un errore del testo o sono io che non capisco qualcosa? Non può essere un errore del testo perche la proposizione q afferma che q: x è una cifra minore di 6 ma pVq: x è una cifra pari o un numero minore di 9. Ma come può essere minore di 9 se non c'è il 7???

Inoltre il testo procede così:

Consideriamo infine l'insieme E di tutte le cifre:
E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

l'insieme E-A ={1,3,5,7,9}

contiene le cifre che non stanno in A, cioè le cifre che non godono della proprietà p; ciè significa che all'insieme E-A si può associare la proposizione: p (con - sopra) : x non è una cifra pari


CONFIDO IN VOI!

[vict85]

Moderatore: vict85

Sposto in secondaria di secondo grado. Questa sezione è per l'algebra e la logica universitaria.

[@melia]

Ovviamente ci sono un po' di cose da correggere in quel testo, prima parla di 6, poi di 9, poi ancora dimentica l'8, anche nella definizione dell'insieme A.

$A={0,2,4,6, 8}\ \p: x text{ è una cifra pari }$

$B ={0,1,2,3,4,5} \ \ q: x text{ è una cifra minore di 6}$

Nessun problema per l'intersezione, che è corretta, passiamo ad analizzare l'unione, tenendo fissi gli insiemi A e B.

$AuuB={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}$, ad esso è associata la proposizione $pvvq: x text{ è una cifra pari o è una cifra minore di 6}$

L'operazione logica $vv$ traduce la "o" inclusiva cioè "o l'uno o l'altro o entrambi", che viene indicata con l'iniziale della o inclusiva latina vel, mentre la "o" esclusiva, cioè "o l'uno o l'altro ma non tutti e due" in latino si traduce con aut ... aut ..., in logica si indica con $dot vv$, cioè la $vv$ con un punto sopra.

A questo punto in testo procede correttamente, supponendo la correttezza di A.
Consideriamo infine l'insieme E di tutte le cifre:
$E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$, ricordiamo che $A={0,2,4,6, 8}$, allora la differenza tra l'insieme E (che in questo caso è l'insieme che contiene tutti gli elementi del problema, cioè tutte le cifre, ed è il nostro insieme universo) e A, si scrive $E-A$ e contiene tutte le cifre che non godono della proprietà p, l'insieme $E-A ={1,3,5,7,9}$ al quale si può associare la proposizione $bar(p) : x text{ non è una cifra pari}$

[Mezzamela]

Grazie Sara, ma continuo a non capire alcune cose.

L'insieme intersezione è ok.

L'insieme unione: ho capito che non c'è il 7 perchè questo numero non è presente nè nell'insieme A, nè nell'insieme B; ma se associo all'insieme unione la proposizione "pVq: x è una cifra pari o un numero minore di 9", è corretto? Perchè se ammetto che entrambe le proposizioni elementari che la costituiscono sono vere, allora dovrebbe esserci anche il 7 come numero ("o un numero minore di 9").

[@melia]

Ti ho già detto che non è 9, ma 6. Non è possibile chiamare con lo stesso nome B prima i numeri minori di 6 e poi quelli minori di 9. È solo un errore di battitura.