Esercizio condizione esistenza logaritmo

[Marco1005]

Ciao a tutti, ho un dubbio sulla condizione di esistenza di questa equazione logaritmica.
$(logx-2)*logx = 3$
Impongo:
$ x>0$
$logx-2>0$
Se $2=log100$ allora significa che $logx-log100>0$
Quindi $logx>log100$
E quindi $x>100$
Però le due soluzioni dell’equazione sono rispettivamente:
$1/10$
$1000$
E il libro le tiene valide entrambe

[mgrau]

Impongo:
...
$logx-2>0$

E perchè?

[marcomaccio]

Ciao a tutti, ho un dubbio sulla condizione di esistenza di questa equazione logaritmica.
$ (logx-2)*logx = 3 $
Impongo:
$ x>0 $
$ logx-2>0 $
Se $ 2=log100 $ allora significa che $ logx-log100>0 $
Quindi $ logx>log100 $
E quindi $ x>100 $
Però le due soluzioni dell’equazione sono rispettivamente:
$ 1/10 $
$ 1000 $
E il libro le tiene valide entrambe

Ciao!
Le condizioni di esistenza le devi porre solo sull'argomento del logaritmo, quindi l'unica condizione è che la $ x $ sia maggiore di 0 (ma non uguale), quindi, in simboli: $ x>0 $
Risolviamo ora l'equazione.
$ (log x-2)\cdot log x=3 $
$ log ^2x-2log x-3=0 $
Posto $ log x=y $ , risolviamo l'equazione in $ y $ :
$ y^2-2x-3=0 $
$ y=[2+-sqrt(4-4(1)(-3))]/2 = [2+-sqrt(16)]/2=(2+-4)/2=1+-2={ ( text(y){::}_(\ \1) =1+2=3 ),( text(y){::}_(\ \2)=1-2=-1):} $
Trovate le soluzioni, poiché abbiamo posto $ log x=y $ , imponiamo che esse siano uguali a $ log x $ :
$ log x=3 -> log x=3log 10 -> log x=log 10^3 -> x=1000 $
$ log x=-1 -> log x=-log 10 -> log x=log 10^-1 -> x=1/10 $
Entrambe le soluzioni sono positive non nulle, quindi accettabili.

Spero di esserti stato utile! ^^

[Marco1005]

Ciao e grazie per le risposte;
rileggendo cio che ho scritto mi sono reso conto di aver chiesto una grossa cavolata - ho ragionato come se l'argomento del logaritmo fosse $(x-2)$; ho visto la parentesi che raggruppava sia il log che il 2 e non ci ho capito più nulla.
Effettivamente l'unica C.E. può essere solamente $x>0$
Pardon