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Come si arriva alla definizione delle coniche come luoghi geometrici a partire da quella come sezioni di un cono? Mi spiego meglio. L'intuizione dell'esistenza stessa delle coniche deriva direttamente dall'esperienza sensibile che posso averne nella realtà come sezioni di un cono (mi vengono in mente ad esempio le ombre); quello che voglio fare è però dare loro una caratterizzazione come luogo geometrico anche semplicemente nel piano, in modo da ricavarne facilmente un'equazione che le rappresenti. Ma come faccio a capire, ad esempio, che per definire la parabola (che vedo come sezione conica) ho bisogno di una direttrice e di un fuoco? Dove sono posizionati 'sul cono'? Insomma da dove li tiro fuori? So che si può dimostrare l'equivalenza logica delle due definizioni, le quali sono quindi la stessa cosa; quello che mi chiedo io è però come sia avvenuto, quando non c'era la definizione pronta come luogo geometrico, questo passaggio. Ringrazio in anticipo chi risponderà a questa domanda.

In generale non so, però per l'ellisse ho visto una dimostrazione che trovo molto elegante, che per l'appunto collega la sezione del cono con il luogo geometrico.
Ti descrivo la situazione, la dimostrazione la lascio a te (ma non è difficile)
Considera un cono (per comodità immaginalo con la punta in basso). Prendi una sfera, e la metti nel cono. Prendi un'altra sfera, abbastanza più grande, in modo che, messa nel cono non vada a toccare la prima.
Ora seziona il cono con un piano che sia tangente a entrambe le sfere. Si dimostra che il contorno del taglio ha la proprietà che, per i suoi punti, la somma delle loro distanze dai punti di tangenza con le sfere è costante: ossia è una ellisse i cui fuochi sono i punti di tangenza.

Grazie innanzitutto per la risposta. Conoscevo questa dimostrazione, insomma il metodo delle 'sfere' per dimostrare l'equivalenza delle due definizioni. In verità anche per queste il metodo mi lascia perplesso, cioè non capisco come uno poi praticamente ci arrivi; forse è stata intuizione di una mente acuta combinata al fatto che la sfera ha certe proprietà 'comode' (come i segmenti di tangente congruenti). Quello che però mi lascia nel dubbio non è questo, in quanto avendo le due definizioni 'pronte' uno può ingegnarsi a vedere se sono uguali e dimostrarlo. Io mi chiedevo però come effettivamente si possa intuire la proprietà della conica che poi porta alla sua equazione nel piano se, anche storicamente, le coniche sono state studiate primariamente come sezioni di un cono. Come è avvenuto insomma questo passaggio e come può uno ripeterlo, cioè che idea chiave serve?

Dovresti leggere qualche libro sulla storia della Matematica o meglio ancora della Geometria.
Per esempio Boyer accredita (più o meno) la "scoperta" delle coniche a Menecmo ma presumo che glie venti, come accade spesso, siano molto più variegati di quello che pensi.

Cordialmente, Alex

Per esempio sul libro "A History of Greek Mathematics Vol.II" di Sir Thomas Heat c'è un capitolo intero (il XIV) dedicato alle coniche, dalla scoperta ad Apollonio.
Prova a cercarlo nelle Biblioteche.

Cordialmente, Alex