Definizione di funzione convessa

[ZfreS]

Stavo studiando la definizione di funzione convessa, ma non capisco una cosa: fissati due punti $x_1$ e $x_2$ in un certo intervallo $I$ l'espressione $tx_1+(1-t)x_2$ con $<=0<=1$ descive al variare di $t$ nell'intervallo $[0,1]$ tutti e i soli punti tra $x_1$ e $x_2$.
Non riesco a capire in particolare il perchè di quell'espressione. In che modo trova tutti i punti compresi tra $x_1$ e $x_2$? Perchè $t$ deve essere compreso per forza tra quei valori?
Potreste chiarirmi questo dubbio per favore?

[axpgn]

E provare con un pochino di algebra, no? Cosa accade con $t=0$? Cosa con $t=1$ ? Cosa con $t=1/2$ ?

[ZfreS]

Ok, in effetti quell'intervallo garantisce stabilità per quella formula, ma se decidessi di estendere l'intervallo e cambiare formula non funzionerebbe più? Come viene ricavata quella formula?

[axpgn]

Ci hai provato a vedere cosa succede? Eh, un po' di sforzo va fatto ...

Comunque $t+(1-t)$ fa sempre $1$ qualsiasi valore abbia $t$ quindi quei due valori ($t$ e $1-t$) non sono altro dei pesi che suddividono "l'importanza" tra $x_1$ e $x_2$, spostando il "baricentro" del sistema da una parte o dall'altra.

[ZfreS]

Grazie axpgn, mi hai chiarito il dubbio, ma se stanno così le cose, allora posso prendere qualunque intervallo, anche $[0,5]$, giusto?

[axpgn]

Eh, no, ... nel senso che sarebbero anch'essi dei pesi che "dividono" nella stessa proporzione l'intervallo tra $x_1$ e $x_2$ ma quintuplicandolo nei valori assoluti, non ottenendo quindi lo stesso effetto.

[ZfreS]

Ok, bene, ho capito, grazie ancora axpgn!

[gugo82]

Stavo studiando la definizione di funzione convessa, ma non capisco una cosa: fissati due punti $x_1$ e $x_2$ in un certo intervallo $I$ l'espressione $tx_1+(1-t)x_2$ con $<=0<=1$ descive al variare di $t$ nell'intervallo $[0,1]$ tutti e i soli punti tra $x_1$ e $x_2$.
Non riesco a capire in particolare il perchè di quell'espressione. In che modo trova tutti i punti compresi tra $x_1$ e $x_2$? Perchè $t$ deve essere compreso per forza tra quei valori?
Potreste chiarirmi questo dubbio per favore?

Vediamo la cosa formalmente.

Chiamiamo $x_t := t x_1 + (1-t) x_2$ e mostriamo che $x_1 <= x_t <= x_2$.
Visto che $x_1<x_2$, per ogni $t in [0,1]$ abbiamo:
\[
\begin{split}
x_t &= \underbrace{t x_1}_{\leq t x_2} + (1-t) x_2 \leq t x_2 + (1-t) x_2 = x_2 \\
x_t &= t x_1 + \underbrace{(1-t) x_2}_{\geq (1-t) x_1} \geq tx_1 + (1-t)x_1 = x_1
\end{split}
\]
e questo è quanto volevamo. Ciò significa che l’insieme formato dai valori di $x_t$ al variare di $t in [0,1]$ è contenuto in $[x_1,x_2]$; per mostrare che i due insiemi coincidono bisogna mostrare che ogni $x in [x_1,x_2]$ si può scrivere come $x_t$ per un appropriato valore di $t in [0,1]$.
Fissiamo allora $x in [x_1,x_2]$ e risolviamo l’equazione $x_t = x$ rispetto all’incognita $t$: abbiamo:
\[
t x_1 + (1-t) x_2 = x\ \Leftrightarrow\ t (x_1 - x_2) + x_2 = x\ \Leftrightarrow\ t = \frac{x - x_2}{x_1 - x_2}
\]
e tale valore di $t$ è un numero appartenente all’intervallo $[0,1]$ (ricorda che $x_1<= x <= x_2$), quindi siamo a cavallo.

[axpgn]

Vediamo la cosa formalmente.

Direi che era il caso

[ZfreS]

Grazie gugo per questa spigazione!