Aiuto e correzione dimostrazione

[Aletzunny]

Dimostrare usando le proprietà dell'unione e dell'intersezione che $A$ $uu$ $B$= $A$ se e solo $B$ $sube$ $A$.

Ho ragionato così
$A$ $uu$ $B$ $supe$ $A$ per la proprietà dell'unione

$A$ $uu$ $B$ $sube$ $A$ : poiché so che $A$ $supe$ $A$ e $A$ $supe$ $B$, allora $A$ $supe$ $A$ $uu$ $B$.(Anch'essa proprietà dell'unione)

È giusta?
Grazie

[Bokonon]

$A$ $uu$ $B$= $A+B-(AnnB)$
Se $BsubeA$ allora $(AnnB)=B$ e viceversa
Da cui la tesi.

[Aletzunny]

$A$ $uu$ $B$= $A+B-(AnnB)$
Se $BsubeA$ allora $(AnnB)=B$ e viceversa
Da cui la tesi.

Ma la mia dimostrazione è sbagliata?

[Bokonon]

Ma la mia dimostrazione è sbagliata?

Mi pare un poco tautologica.
Parti sempre dalla definizione.

[gugo82]

$A$ $uu$ $B$= $A+B-(AnnB)$
Se $BsubeA$ allora $(AnnB)=B$ e viceversa
Da cui la tesi.

Ma la mia dimostrazione è sbagliata?

Sì.
(Non che quella di Bokonon sia giusta, capiamoci… Anzi!)

Ti propongo una dimostrazione corretta.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dim.: Proviamo che se $B subseteq A$ allora $A uu B = A$.
Si ha $x in A uu B <=> x in A vv x in B => x in A$ (poiché $x in B => x in A$) e perciò $A uu B subseteq A$; d’altra parte $A subseteq A uu B$ per definizione; quindi da $A subseteq A uu B subseteq A$ segue $A uu B = A$.

Viceversa, mostriamo che se $A uu B = A$ allora $B subseteq A$.
Per assurdo, supponiamo che \(B \not\subseteq A\), ossia che esista almeno un $b in B$ tale che $b notin A$.
In tal caso, per definizione di unione, si ha $b in A uu B$ e dunque, per ipotesi, si ha anche $b in A$; ma ciò è assurdo, per come abbiamo scelto $b$.
Dunque da $A uu B = A$ segue necessariamente $B subseteq A$, come volevamo. $square$

[Aletzunny]

Grazie