aiuto calcolo di un limite

[Nickbru]

Mi aiutate con questo limite? Non so come possa essere uguale a 1/e (che sarebbe la soluzione)
$ \lim_{x\to 0+} (1-sinx)^{\frac{cosx}{x} $

Se mi spiegaste i passaggi mi fareste un grande favore, grazie in anticipo

(P.S. non ha nulla a che fare con un compito in classe prima che possa venire qualche dubbio)

[Bokonon]

Ciao Nickbru
Innanzitutto ricordiamo due limiti notevoli $lim_(n->oo) (1+1/n)^n=e$ e $lim_(x->0) sin(x)/x=1$

Il primo può essere riscritto in una forma diversa per sostituzione.
Poniamo $1/n=y$ questo implica che per $n->oo$ allora $y->0$.
Sostituendo otteniamo la forma equivalente $lim_(y->0) (1+y)^(1/y)=e$

Quindi se fosse $lim_(y->0) 1/((1+y)^(1/y))=lim_(y->0) (1+y)^(-1/y)=1/e$
Anche in questo caso potremmo fare una sostituzione $x=-y$ e per $y->0$ allora anche $x->0$
Sostituendo otteniamo la forma equivalente $lim_(x->0) [1+(-x)]^(1/x)=1/e$

Questi primi passaggi sono importanti, perchè devi conoscere la varie forme del limite e magari sapertele ricavare al volo anche durante un esame. Perciò segnatele e studiale per bene.

Ora che è chiaro l'obiettivo, possiamo riscrivere il limite come:
$lim_(x->0^+) [1+(-x*sin(x)/x)]^(1/xcos(x))=1/e$

[Nickbru]

Grazie, credo di aver capito. Devo abituarmi a lavorare con i limiti notevoli allora

[Bokonon]

Grazie, credo di aver capito. Devo abituarmi a lavorare con i limiti notevoli allora

Ottimo. Ho corretto una riga che avevo scritto male col copia e incolla.