Dubbio su dominio

[ZfreS]

Mi è capitato di vedere questo esercizio sul calcolo di un dominio, ma la soluzione mi ha messo in dubbio:
$y=log(4cos^2x-4cosx-1)$, ponendo positivo l'argomento del logaritmo si ottiene come soluzione l'intervallo $[-pi/3+2kpi;pi/3+2kpi]$, invece il libro mette $Dom[R-{-+pi/3+2kpi}]$.
Potreste spiegarmi il perchè?

[@melia]

La soluzione del libro
$ Dom=[R-{+-pi/3+2kpi}] $è relativa ad un esercizio diverso, cioè $ y=log(4cos^2x-4cosx+1) $ che, infatti, diventa $y=log((2cosx-1)^2)$ ed esiste quasi sempre, basta che $2cosx-1 !=0$, cioè $x != +-pi/3+2kpi$.

Il dominio che hai indicato tu è quello di $y=log(2cosx-1)$

Mentre il dominio della funzione postata $ y=log(4cos^2x-4cosx-1) $ è $[arccos ((1-sqrt2)/2)+2kpi, 2pi-arccos ((1-sqrt2)/2)+2kpi]$

[ZfreS]

Ok, ma io posso riscrivere quella funzione in questo modo: $y= 2log(2cosx-1)$, il che mi porterebbe a imporre l'argomento positivo ottenendo lo stesso risultato.

[@melia]

No, devi scrivere, eventualmente, $ y= 2log |2cosx-1| $

[ZfreS]

Non capisco il perchè di questo.

[axpgn]

Ma veramente pensi che l'immagine di $2cos(x)-1$ sia la stessa di $(2cos(x)-1)^2$ ?

[@melia]

Non capisco il perchè di questo.

Per lo stesso motivo per cui $sqrt(x^2)=|x|$

[ZfreS]

Adesso che melia mi ha richiamato l'esempio della radice ho capito. Grazie per il chiarimento.

[axpgn]

Questa risposta è peggio del resto; realmente ti è stato necessario il commento di @melia per capire che sono funzioni con immagine diversa? È banale vedere che $2cos(x)-1$ può essere negativo (vedi per esempio $x=pi$) mentre l'altra non lo è mai ...