Dimostrazione immagine e controimmagine di una funzione

[Aletzunny]

Dato $C$ $sube$ $A$, confrontare $Cff^(-1)$ con $C$.
A lezione ci è stato fatto capire con un esempio che
$Cff^(-1)$ $supe$ $C$
Ma non ho capito la dimostrazione che ci è stata cosi enunciata:
sia $c$ $in$ $C$, devo mostrare che $c$ $in$ $Cff^(-1)$ cioè $cf$ $in$ $Cf$ (perché??). Questa "condizione" segue la definizione di $Cf$ [$Cf={cf|cinC}$] per cui abbiamo concluso la dimostrazione.(perché abbiamo concluso?)

Poi ci è stato dato questo esercizio:
Dato $DsubeB$, confrontare $Df^(-1)f$ con $D$

Sempre con un esempio sono arrivato a capire che $Df^(-1)f$ $sube$ $D$ ma non ho idea su come dimostrarla perché non ho capito come procedere... potete aiutarmi?
Grazie

[marco2132k]

Usando la notazione prefissa (per preservarmi la sanità mentale), si ha \( f^{-1}fC\supset C \), perché ogni punto di \( C \) viene mandato in \( fC \) (per definizione). Non è sempre vero il viceversa. (Quando lo è?)

Poi, è \( ff^{-1}D\subset D \) perché se prendi l'immagine di un punto che viene mandato in \( D \) (i.e., un punto di \( f^{-1}D \)), hai un punto di \( D \). Anche qui non sempre è vero il viceversa.

[Aletzunny]

Usando la notazione prefissa (per preservarmi la sanità mentale), si ha \( f^{-1}fC\supset C \), perché ogni punto di \( C \) viene mandato in \( fC \) (per definizione). Non è sempre vero il viceversa. (Quando lo è?)

Poi, è \( ff^{-1}D\subset D \) perché se prendi l'immagine di un punto che viene mandato in \( D \) (i.e., un punto di \( f^{-1}D \)), hai un punto di \( D \). Anche qui non sempre è vero il viceversa.

Non ho capito, purtroppo, davvero nulla di ciò che mi hai scritto...

[marco2132k]

Ma è per la notazione? Guarda che quello che ho indicato con fC non è altro che quello che tu indichi con Cf. (Studi dall’Herstein?)

[Aletzunny]

No non ho capito ciò che hai cercato di spiegarmi...
Sul fatto del viceversa e no