Esercizio disequazione logaritmica

[giamar]

Salve a tutti,
mi ritengo un matematico della domenica, nel senso che sto riscoprendo argomenti abbandonati negli anni delle superiori. Per diletto, il mio obiettivo è superare un esame di analisi matematica 1 universitario (prendendo un compito online a caso).
In questo periodo sono alle prese con gli esercizi in oggetto.
Il risultato deve venire \(\displaystyle 1/2<x<1 \).

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) < 2\)

Vi descrivo il mio procedimento:

la disequazione può essere riscritta come:

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) < 2 * 1\)

ovvero

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) < 2 * log _{3} 3\)

ovvero

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) < log _{3} 3^2\)

ovvero

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) - log _{3} 3^2 < 0\)

la disequazione è soddisfatta per

\(\displaystyle (2x^2-3x+10) > 0\)

\(\displaystyle log _{3} 3^2 > 0\)

e

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) - log _{3} 3^2 < 0\)



sostitusco log (x) con t quindi:

\(\displaystyle 2t^2-3t+10 - 9 < 0\)

mediante la formula \(\displaystyle (-b+-(\sqrt{b^2-4ac}/2a)\)

ottengo 1/2 < t < 1

poi dovrei riportare t al log (x) e qui i calcoli non mi tornano.
Grazie anticipatamente per il supporto

[gugo82]

[…]

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) < log _{3} 3^2\)

ovvero

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) - log _{3} 3^2 < 0\)

la disequazione è soddisfatta per

\(\displaystyle (2x^2-3x+10) > 0\)

\(\displaystyle log _{3} 3^2 > 0\)

e

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) - log _{3} 3^2 < 0\)

Studia la teoria prima di svolgere esercizi.

Come si risolve una disequazione (di qualsiasi tipo)?
Come si risolve una disequazione logaritmica? Su quali proprietà del logaritmo si basa il metodo risolutivo?
Come si applicano le nozioni della teoria al tuo caso?

In subordine, la sostituzione che proponi successivamente non ha alcun senso.
Sai cos’è una funzione? Come si denota?
Che cos’è una funzione composta?
A che servono le parentesi?

[axpgn]

Bene fino a qui

$log_{3} (2x^2-3x+10) < log_{3} 3^2$

Poi devi sfruttare le proprietà della funzione logaritmica (quali? perché?) per "eliminare" il logaritmo (come?) e ritrovarti con un'equazione di secondo grado.

Cordialmente, Alex

[giamar]

Ragazzi era più facile di quanto pensassi! Scusate per le lacune ma, come vi ripeto, sto riprendendo con il mio poco tempo libero argomenti trattati circa una ventina di anni fa

Dunque:

\(\displaystyle log _{3} (2x^2-3x+10) < log _{3} 3^2\)

ovvero

\(\displaystyle 2x^2-3x+10 -9 < 0\)

In questo caso abbiamo 2 soluzioni seguendo la formula:

\(\displaystyle (-b+-(\sqrt{b^2-4ac}/2a)\)

x1 = 4/4 = 1
x2 = 1/2

dato che la disequazione è < 0, il risultato sarà del tipo \(\displaystyle x2 < x < x1 \) ovvero \(\displaystyle 1/2 < x < 1 \)

[gugo82]

Ti sei comunque perso un pezzo per strada.

[giamar]

Ti sei comunque perso un pezzo per strada.

Quale? Quello di mettere a sistema la condizione:

\(\displaystyle (2x^2-3x+10) >0\)

[gugo82]

Eh, direi proprio di sì.

[giamar]

Grazie mille!