Relazioni di equivalenza

[Aletzunny]

Dati questi due esercizi non ho capito perché una è riflessiva e una no.( Def.reflessiva: ogni elemento di A è in relazione con sé stesso $a~a$)

$A)$ Fissato un primo $p$, dico che $a$ e $b$ sono in relazione se $p$ divide entrambi.In classe abbiamo detto che NON È RIFLESSIVA( se $a$ non è multiplo di $p$ allora $a$ non è in relazione con $a$)

Non ho capito il perché? Potete farmi qualche esempio numerico?

$B)$ $A$={numeri reali $>=$ 2}
$a$ è in relazione con $b$ se esiste un primo che li divide entrambi.
In classe abbiamo detto che È RIFLESSIVA... perché in questo caso?
Grazie

[gugo82]

A) Prendi $a=2$ e $p=7$. Che succede?

B) La divisibilità nei reali (come pure nei razionali) è banale: ogni $a in RR$ è divisibile per ogni $p in RR$ con $p!=0$.
Cosa comporta questo? Nel senso, scelti $a,b >=2$, è possibile che \(a\not\sim b\)

[axpgn]

A)
La riflessività deve valere per OGNI elemento dell'insieme che sostiene la relazione, quindi se prendiamo per esempio l'insieme dei numeri naturali (non hai detto qual è questo insieme quindi ne prendo uno io), fissiamo un primo, per esempio $p=2$, allora tutti i dispari NON sono in relazione con sé stessi; ne consegue che non valendo la riflessività per tutti gli elementi dell'insieme quella relazione non è riflessiva.


B)
Assumendo che si stia sempre parlando di numeri naturali, per ognuno di questi esisterà sempre un primo che li divida (se non ne esistono minori di esso, allora il numero stesso è primo).
Quindi per ogni numero naturale esiste un primo che lo divide e se questo primo divide $a$ dividerà anche $a$.
Da qui la riflessività.

Cordialmente, Alex

[Aletzunny]

Allora ho capito il caso $B)$ ma non ho capito bene il caso $A)$...sarebbe perché se ad esempio fissato $p=2$ allora $3~3$ ma se $3=a$ non è divisibile per $2$ allora anche $a$ non sarà divisibile per $2$?

[axpgn]

Sì, e dato che la riflessività deve valere per TUTTI gli elementi dell'insieme, è sufficiente che non valga anche per uno solo per far si che la relazione non sia riflessiva.

[Aletzunny]

Grazie