Di questa dimostrazione non ho capito diversi punti e spero riusciate ad aiutarmi.
Verificare che se $a in Calpha$ allora $Calpha = (a)~$
dove $(a)~$= è la classe di equivalenza di un sottoinsieme $a in A$ e $Calpha$=partizione di $A$, cioè una famiglia di sottoinsiemi tali che la loro unione è $A$ e la loro intersezione a due a due non è vuota se $alpah$ $!=$ $beta$
Sia $b in (a)~$ per definizione esiste (perché? Non ho capito) $beta$ tale che $a in Calpha$ e $b in Cbeta$.
Ma allora $a$ appartiene all'intersezione tra $Calpha$ e $Cbeta$ ( e da dove lo capisco che $a$ appartiene anche a $Cbeta$ ?) e quindi poiché la loro intersezione non è vuota si deduce che $Calpha=Cbeta$ (perché?). Pertanto $b in Calpha$ e $b in Cbeta$ e quindi $(a)~$ è contenuto in $Calpha$ (perché posso dire che è contenuto?).
Viceversa sia $c in Calpha$ Allora $a$ e $c$ appartengono a $Calpha$ e per definizione $a~c$, cioè $c in (a)~$. Quindi $Calpha$ è contenuto in $(a)~$ (perché posso dire che $Calpha$ è contenuto in $(a)~$ ? )
Sono consapevole che sarà molto difficile aiutarmi ma spero qualcuno possa darmi una mano o almeno darmi qualche indicazione per cercare di risolvere i miei dubbi.
GRAZIE