Integrale

[IPPASO40]

Non riesco a risolvere il seguente integrale:
$ int_(1)^(6) 1/(x^2-x+2) dx $

[giammaria]

Prima di inviare, ti conviene fare una anteprima per controllare che il tutto sia ben leggibile. Nel tuo caso non lo è; risolvo supponendo che il testo fosse
$int (dx)/(x^2-x+2)$
Quando la funzione integranda è del tipo $1/(ax^2+bx+c)$, come prima cosa ci si chiede se il denominatore ha zeri reali; nel nostro caso non li ha. Alcuni testi danno allora una formula da usare sapendola a memoria, ma ce ne sono già fin troppe; volendola evitare, devi per prima cosa mandare via il termine di primo grado con la sostituzione $x=u-b/(2a)$ che nel nostro caso diventa $x=u+1/2$. A calcoli fatti, ottieni
$=int (du)/(u^2+7/4)$
Forse ora conosci una formula a memoria; altrimenti fai la sostituzione $u=vsqrt(7/4)=vsqrt7/2$
Dopo l'integrazione devi ovviamente ritornare alla $x$ iniziale.

EDIT. Mentre scrivevo hai modificato il tuo messaggio ed ora vedo che su tratta di un integrale definito, quindi non occorre tornare alla variabile iniziale ma bisogna sostituire anche negli estremi. Fermo il resto, la formula che ho scritto va modificata in
$=int_(1/2)^(a-1/2) (du)/(u^2+7/4)$

[marcomaccio]

Ciao!
Si tratta dell'integrazione di una funzione razionale fratta. Iniziamo ad analizzare il discriminante dell'equazione al denominatore:
$ Delta =1-4(1)(2)=1-8=-7 $
Il discriminante è negativo, quindi cerchiamo di rendere il denominatore un quadrato perfetto. Per far ciò, occorre che il termine noto sia uguale a $ 1/4 $ , quindi scomponiamo il $ 2 $ come segue:
$ int_(1)^(6)1/(x^2-x+2) dx=int_(1)^(6)1/(x^2-x+1/4+7/4)dx $
Quindi:
$ int_(1)^(6)1/(x^2-x+1/4+7/4)dx=int_(1)^(6)1/(7/4+(x-1/2)^2)dx $
Raccogliamo al denominatore $ 7/4 $ e portiamolo fuori dall'operazione di integrale:
$ int_(1)^(6)1/(7/4+(x-1/2)^2)dx=int_(1)^(6)1/(7/4(1+((x-1/2)^2)/(7/4)))dx = 4/7int_(1)^(6)1/(1+((x-1/2)^2)/(7/4))dx $
Riscriviamo il denominatore come segue:
$ 4/7int_(1)^(6)1/(1+((x-1/2)^2)/(7/4))dx=4/7int_(1)^(6)1/(1+((x-1/2)/(sqrt(7)/2))^2)dx $
Eseguiamo la divisione al denominatore (razionalizzando):
$ 4/7int_(1)^(6)1/(1+((x-1/2)/(sqrt(7)/2))^2)dx=4/7int_(1)^(6)1/(1+[(x-1/2)\cdot (2sqrt(7))/7]^2)dx $
Ora eseguiamo il prodotto:
$ 4/7int_(1)^(6)1/(1+[(x-1/2)\cdot (2sqrt(7))/7]^2)dx=4/7int_(1)^(6)1/(1+((2sqrt(7))/7x-sqrt(7)/7)^2)dx $
Poiché stiamo cercando di ricondurci all'integrale $ int(f'(x))/(1+[f(x)]^2)dx=arctan f(x)+c $ , calcoliamo la derivata della nostra funzione elevata al quadrato (ovvero $ f'(x)=(2sqrt(7))/7 $ ), e scriviamo:
$ 4/7int_(1)^(6)1/(1+((2sqrt(7))/7x-sqrt(7)/7)^2)dx=4/7\cdot 7/(2sqrt(7))int_(1)^(6)((2sqrt(7))/7)/(1+((2sqrt(7))/7x-sqrt(7)/7)^2)dx=(2sqrt(7))/7int_(1)^(6)((2sqrt(7))/7)/(1+((2sqrt(7))/7x-sqrt(7)/7)^2)dx $
Possiamo ora calcolare l'integrale indefinito:
$ (2sqrt(7))/7int_(1)^(6)((2sqrt(7))/7)/(1+((2sqrt(7))/7x-sqrt(7)/7)^2)dx=(2sqrt(7))/7[arctan((2sqrt(7))/7x-sqrt(7)/7)]_(1)^(6) $
Calcoliamo, infine, l'integrale definito:
$ (2sqrt(7))/7[arctan((2sqrt(7))/7x-sqrt(7)/7)]_(1)^(6)=(2sqrt(7))/7[arctan((12sqrt(7))/7-sqrt(7)/7)-arctan((2sqrt(7))/7-sqrt(7)/7)]=
=(2sqrt(7))/7[arctan((11sqrt(7))/7)-arctan((sqrt(7))/7)] $
Spero di esserti stato utile

[IPPASO40]

Grazie Marcomaccio per il tuo prezioso aiuto. Non era tanto semplice.