Aiuto su dimostrazione funzioni

[Aletzunny]

Data $f:A->B$ devo dimostrare che:

$1)$ Se $C sube A$ allora $f^(-1)(f(C)) supe C$

Di questo esercizio ho già la dimostrazione [ preso $c in C$, allora $f(c)=b in B$ e quindi $f^(-1)(f(c))=f^(-1)(b)$. Perciò $c in f^(-1)(f(c))$ ]
ma non ho capito perché per dimostrarla mi basta provare che $c in f^(-1)(f(c))$ e come faccio allora a capire che $f^(-1)(f(C)) supe C$

$2)$ dato $D sube B$, dimostrare che $f(f^(-1)(D)) sube D$.
Qui non ho capito come devo procedere...sono arrivato a capire che se $f^(-1)(d)=a in A$ allora $f(a)=f(f^(-1)(d)) in D$ ma poi non so più come procedere per dimostrare la richiesta iniziale.

Grazie a chi mi aiuterà

[gugo82]

Per capire, chiediti cosa significano le relazioni $C subseteq f^(-1)(f(C))$ e $D subseteq f(f^(-1)(D))$.

[Aletzunny]

Per capire, chiediti cosa significano le relazioni $C subseteq f^(-1)(f(C))$ e $D subseteq f(f^(-1)(D))$.

In che senso? Non sto davvero capendo...
Dalla teoria so che vorrebbe dire che $C$ e $f^(-1)(f(C))$ hanno gli stessi elementi

[Aletzunny]

Però non capisco come ragionare per questo specifico caso...

[gugo82]

Per capire, chiediti cosa significano le relazioni $C subseteq f^(-1)(f(C))$ e $D subseteq f(f^(-1)(D))$.

In che senso? Non sto davvero capendo...
Dalla teoria so che vorrebbe dire che $C$ e $f^(-1)(f(C))$ hanno gli stessi elementi

No, non significa questo.

Quand’è che scrivi $ X subseteq Y$?

[Aletzunny]

Non l'ho davvero mai usato...
Ho usato quella notazione solo per dire che $A$ è un sottoinsieme di $B$, cioè $A sube B$

[gugo82]

Non l'ho davvero mai usato...

Ah, no?
E quindi quello che scrivi di seguito:

Ho usato quella notazione solo per dire che $A$ è un sottoinsieme di $B$, cioè $A sube B$

che senso ha?

Per favore, pensa bene a ciò che scrivi e studi… Piuttosto che inventarne di nuove, dovresti saper maneggiare e conoscere il significato delle notazioni esistenti.
Va bene: $X subseteq Y$ significa “$X$ è un sottoinsieme di $Y$”… E ciò accade quando?

[Aletzunny]

Per la teoria che mi hanno spiegato a scuola significa per me che $x in A$ e $x in B$...

[Aletzunny]

$X$ è un sottoinsieme di $Y$ cioè $x in X$ e $x in Y$ con $x$ generico elemento...
Però non sto capendo come sia connesso con la mia richiesta...

[gugo82]

Per la teoria che mi hanno spiegato a scuola significa per me che $x in A$ e $x in B$...

No, non significa questo.
Rileggi la teoria.