Aiuto su dimostrazione funzioni

[Aletzunny]

Davvero non ho il testo e ho gli appunti in cui ho scritto solo quello...cercando su internet trovo solo esempi con gli insiemi...
Cosa significa $X sube Y$?

[gugo82]

Perché, secondo te $X$ ed $Y$ cosa sono?
Come si indicano gli insiemi?

[Aletzunny]

Non ho un libro di teoria, colpa mia vero!
Però ora ho chiesto aiuto e non sto capendo dove tu stai cercando di portarmi.
Ho scritto che $X sube Y$ mi indica appunto che $X$ è un sottoinsieme di $Y$...poi però non so cosa altro significhi

[Aletzunny]

Ho scritto che allora un generico elemento di $X$, cioè $x$, appartiene sia a $X$ che $Y$ per scrivere $X sube Y$

[Aletzunny]

Non mi diverto per nulla a studiare e non riuscire a fare gli esercizi.
Purtroppo io di teoria mi hanno spiegata quella...
Se gentilmente mi spiegheresti cosa $X sube Y$ significa mi faresti solo che un favore...

[gugo82]

Non mi diverto per nulla a studiare e non riuscire a fare gli esercizi.

Forse, per l’ennesima volta, non ci intendiamo sul significato dei termini.
Per te cosa significa “studiare”?

Per me significa aprire un libro, leggere, capire, riscrivere a modo mio, ricordare, saper applicare…

Purtroppo io di teoria mi hanno spiegata quella...

Dubito.

Se gentilmente mi spiegheresti cosa $X sube Y$ significa mi faresti solo che un favore...

Significa che “$X$ è un sottoinsieme di $Y$”, come hai detto anche tu.

Ma che significa “$X$ è un sottoinsieme di $Y$”?

[Aletzunny]

Dati due insiemi $X$ e $Y$ si dice che $Y$ è un sottoinsieme di $X$ se ogni elemento di $Y$ è anche elemento di $X$...
Questo è la definizione che riporta il libro(mi sono fatto mandare la foto da una compagna)...

Ancora non capisco però come influenzi la mia domanda iniziale...

[Aletzunny]

Per "provare" ho fatto un esempio numerico:
$f:Z->Z$:$n->n^2$

$C={1,2,-1}$

$f(c)={1,4}$

$f^(-1)(f(c))={1,-1,2,-2}$

Con l'esempio numerico penso di esserci arrivato...ti pregherei di dirmi se è giusto?

Per ipotesi $c in C$ ma se devo dimostrare che

$f^(-1)(f(c)) supe C$ vuol dire che ogni elemento di $C$ è anche elemento di $f^(-1)(f(c))$ e per questo devo dimostrare che $c in f^(-1)(f(c))$

Per il caso $2)$ devo dimostrare che $d in f(f^(-1)(d)$ perché per l'ipotesi iniziale ogni elemento di $f(f^(-1)(d)$ è anche elemento di $D$

[gugo82]

Dati due insiemi $X$ e $Y$ si dice che $Y$ è un sottoinsieme di $X$ se ogni elemento di $Y$ è anche elemento di $X$...

Assafà…

Scritto sinteticamente, “$X$ è un sottoinsieme di $Y$” significa:

$AA x in X,\ x in Y$

ossia:

$x in X => x in Y$.

Questo è la definizione che riporta il libro(mi sono fatto mandare la foto da una compagna)...

Brav.
Così almeno diamo un senso a questi social media che usate da quando siete in fasce.

Ancora non capisco però come influenzi la mia domanda iniziale...

La influenza perché, nonostante non l’avessi capito (perché non sapevi cosa stavi dimostrando), le tue dimostrazioni le avevi belle che finite.

Riscriviamo meglio (ti devi allenare molto su questo, ed anche sulla grammatica dei periodi che componi, perché a volte scrivi in maniera poco comprensibile):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dimostriamo che $C subseteq f^(-1)(f(C))$.
Per fare ciò dobbiamo provare che per ogni fissato $c in C$ risulta pure $c in f^(-1)(f(C))$.

Fissiamo $c in C$ e chiamiamo $d =f(c)$; per definizione, risulta $d in f(C)$, cosicché l’antiimmagine dell’insieme $\{d \}$ è un sottoinsieme in $f^(-1)(f(C))$, cioè $f^(-1)(\{d\}) subseteq f^(-1)(f(C))$.
D’altra parte risulta $c in f^(-1)(\{ d\})$ e quindi (per definizione di “sottoinsieme”) risulta $c in f^(-1)(f(C))$.
Abbiamo così provato che $c in C$ implica $c in f^(-1)(f(C))$ e, stante l’arbitrarietà nella scelta di $c$, ciò equivale a $C subseteq f^(-1)(f(C))$, come volevamo. $square$

[Aletzunny]

Grazie per la pazienza che mi hai dedicato...

Con i dovuti aggiustamenti anche il punto $2)$ è corretto?