Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda BayMax » 09/10/2019, 22:46

Buonasera a tutti !
Oggi vi chiedo aiuto per calcolare il periodo di una funzione applicando la definizione: $f(x+T)=f(x)$ oppure $f(x+kT)=f(x)$, che dir si voglia.
La funzione è la seguente: $ln(4sin^2(x)+4sin(x)+1)$.
Dal grafico si evince facilmente che questa è una funzione periodica di periodo $T=2pi$. Il mio scopo, però, è dimostrarlo in modo algebrico utilizzando la definizione di funzione periodica. Ora, andando a sostituire $x+T$ nella precedente funzione ed eguagliandola alla funzione di partenza, ottenendo $ln(4sin^2(x+T)+4sin(x+T)+1)=ln(4sin^2(x)+4sin(x)+1)$, ho scritto una marea di calcoli senza riuscire a semplificare l'equazione né a raggiungere l'obiettivo. Evito di scrivere tutti i calcoli fatti per motivi di lunghezza e spero vi fidiate di me quando dico che ci ho davvero provato :-D :-D . Ho tentato di trasformare il $sin^2(x)$ utilizzando le formule di duplicazione, ho tentato usare le formule di addizione del seno e poi svolgere i quadrati, ma nulla, i calcoli si sono complicati sempre più invece di semplificarsi.
Pertanto chiedo a qualche anima pia, disposta a cimentarsi in calcoli noiosi e molto poco stimolanti, di aiutarmi nei passaggi per arrivare a calcolare il periodo.

Grazie sin da ora a quanti risponderanno :D

Saluti

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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda axpgn » 09/10/2019, 23:02

Fai prima a porre $T=2pi$ e verificare che è periodica … :-D

Comunque, non me intendo però proverei così … prima di tutto tralascerei il logaritmo che non influisce, secondariamente risolvendo l'equazione $4x^2+4x+1=0$ si trova che l'unica soluzione è $x=-1/2$ perciò ne consegue che $sin(x)$ e $sin(x+T)$ devono essere uguali a $-1/2$ (come soluzioni di $4(sin(x))^2+4sin(x)+1=0$.

Prova a proseguire da qui … IMHO

Cordialmente, Alex
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda axpgn » 09/10/2019, 23:08

Data l'ora potrei dire una sciocchezza (va beh, è una scusa :-D ) ma dato che nella tua funzione la "variabile" è solo $sin(x)$ è ovvio che il periodo sia $2pi$ … IMHO

Cordialmente, Alex
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 10/10/2019, 21:23

BayMax ha scritto:Buonasera a tutti !
Oggi vi chiedo aiuto per calcolare il periodo di una funzione applicando la definizione: $f(x+T)=f(x)$ oppure $f(x+kT)=f(x)$, che dir si voglia.
La funzione è la seguente: $ln(4sin^2(x)+4sin(x)+1)$.
Dal grafico si evince facilmente che questa è una funzione periodica di periodo $T=2pi$. Il mio scopo, però, è dimostrarlo in modo algebrico utilizzando la definizione di funzione periodica. Ora, andando a sostituire $x+T$ nella precedente funzione ed eguagliandola alla funzione di partenza, ottenendo $ln(4sin^2(x+T)+4sin(x+T)+1)=ln(4sin^2(x)+4sin(x)+1)$, ho scritto una marea di calcoli senza riuscire a semplificare l'equazione né a raggiungere l'obiettivo. Evito di scrivere tutti i calcoli fatti per motivi di lunghezza e spero vi fidiate di me quando dico che ci ho davvero provato :-D :-D . Ho tentato di trasformare il $sin^2(x)$ utilizzando le formule di duplicazione, ho tentato usare le formule di addizione del seno e poi svolgere i quadrati, ma nulla, i calcoli si sono complicati sempre più invece di semplificarsi.
Pertanto chiedo a qualche anima pia, disposta a cimentarsi in calcoli noiosi e molto poco stimolanti, di aiutarmi nei passaggi per arrivare a calcolare il periodo.

Grazie sin da ora a quanti risponderanno :D

Saluti

BayMax


Appunto, calcoli noiosi di certo...e forse non troppo utili. Potresti dimostrare, estendendo in sostanza il suggerimento che ti è stato dato da axpgn, piuttosto, che

"se $f$ e $g$ sono due funzioni componibili con $f$ periodica di periodo $T$, allora la funzione composta $g\circ f$ ammette $T$ come (un) suo periodo".

Un caveat però: che definizione usi di "periodo"? Quando diciamo che $2\pi$ è il periodo della funzione seno, diciamo qualcosa che è un po' di più che dire che valgono le (infinite) uguaglianze $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ per ogni $x\in\RR$; infatti è altrettanto vero che $\sin(x-6\pi)=\sin(x)$ per ogni $x\in\RR$, eppure non diciamo che $-6\pi$ è "il" periodo della funzione seno (potremmo, al più, dire che $-6\pi$ è un periodo di $\sin$)...il periodo dovrebbe avere una certa proprietà di "minimalità" in un senso opportuno.
Se provi a dimostrare il fatto sulla (pre)composizione con una funzione periodica, considera anche il caso il cui la funzione esterna (la $g$) sia costante...

Nel tuo esempio $g(t)=\ln(4t^2+...)$, mentre $f(x)=\sin(x)$...

In generale, anche se la domanda può apparire sensata, di solito, se possibile, non ci si mette a cercare il periodo di una generica funzione $f$ introducendo un'incognita $T$ e cercando di risolvere il sistema di infinite equazioni simultanee
$f(x+T)=f(x)$ per ogni $x\in\RR$ (diciamo per semplicità, almeno, che il dominio della generica $f$ sia $\RR$, anziché un generico "insieme $T$-periodico" )...non è il modo migliore di passare il pomeriggio, via [-X
Ultima modifica di alessio76 il 10/10/2019, 21:33, modificato 1 volta in totale.
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda BayMax » 10/10/2019, 21:32

Innanzitutto ringrazio entrambi @axpgn, @alessio76 !

Proprio axpgn mi ha fatto riflettere su quello che alessio76 ha sottolineato, cioè l'esistenza di una qualche regola che leghi il periodo di una composizione di funzioni, regola della quale, però, ignoro l'esistenza e mi piacerebbe essere illuminato da voi.

@alessio76: per periodo intendo anche io il minimo intervallo dopo il quale la funzione ripete se stessa, per dirla in parole povere.

Saluti :smt039 :smt039

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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 10/10/2019, 21:38

BayMax ha scritto:Innanzitutto ringrazio entrambi @axpgn, @alessio76 !
@alessio76: per periodo intendo anche io il minimo intervallo dopo il quale la funzione ripete se stessa, per dirla in parole povere.


Sì, l'idea è proprio quella di prendere, se esiste ed è positivo, il "più piccolo" fra tutti "i periodi positivi" della funzione... Per le funzioni circolari seno e coseno viene $2\pi$...
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda BayMax » 10/10/2019, 21:41

@alessio76

sapresti indirizzarmi, o aiutarmi nella dimostrazione che hai proposto ? E' proprio quello che sto cercando !
Mi spiego meglio, a me sembra una cosa ovvia che non necessiti di alcun passaggio, ma, sicuramente, sbaglio io :-D :-D ; nel senso, supponendo $g$ funzione esterna e $f$ funzione interna e quest'ultima periodica di periodo $T$, in modo che si abbia $f(x)=f(x+T)$, allora si ha anche $g(f(x))=g(f(x+T))$ che è proprio la definizione di funzione $g$ periodica di periodo $T$.
Ultima modifica di BayMax il 10/10/2019, 21:45, modificato 1 volta in totale.
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 10/10/2019, 21:45

BayMax ha scritto:@alessio76

sapresti indirizzarmi, o aiutarmi nella dimostrazione che hai proposto ? E' proprio quello che sto cercando !


Scriviti in modo esplicito le ipotesi (le funzioni sono componibili e l'interna, quella che ho chiamato $f$, è periodica di periodo $T$) e la tesi (la composta ha $T$ fra i suoi periodi):

$f$ periodica di periodo $T$ significa (tralascia la questione della minimalità):....


$g\circ f$ periodica di periodo $T$ significa:....
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 10/10/2019, 21:48

BayMax ha scritto:@alessio76

sapresti indirizzarmi, o aiutarmi nella dimostrazione che hai proposto ? E' proprio quello che sto cercando !
Mi spiego meglio, a me sembra una cosa ovvia che non necessiti di alcun passaggio, ma, sicuramente, sbaglio io :-D :-D ; nel senso, supponendo $g$ funzione esterna e $f$ funzione interna e quest'ultima periodica di periodo $T$, in modo che si abbia $f(x)=f(x+T)$, allora si ha anche $g(f(x))=g(f(x+T))$ che è proprio la definizione di funzione $g$ periodica di periodo $T$.


Sì ecco, bravo, però mettici i quantificatori giusti, dai [-o<
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 10/10/2019, 21:50

Morale: se precomponi con una funzione periodica, la composta risulta anch'essa periodica (occhio, la minimalità non è garantita...)

Se hai voglia di giocare: se precomponi con una funzione pari/dispari...?
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