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salve a tutti. Sono giorni che provo a risolvere questo esercizio senza successo.
Devo verificare l' identità di:
$ sin alpha + sen beta + sen(alpha+beta)= 4 cos(alpha/2)*cos(beta/2)*sen((alpha+beta)/2) $
il libro miv dice di considerare $ alpha + beta= ((alpha+beta)/2) $
grazie in anticipo

Il libro non può aver suggerito una disuguaglianza.
Probabilmente intendevi scrivere $ alpha + beta= 2((alpha+beta)/2)$
Quindi $ sin(alpha + beta)=sin(2((alpha+beta)/2))$
e sai che $sin(2gamma)=2sin(gamma)cos(gamma)$ dove $gamma=(alpha+beta)/2$
Quindi basta sostituire si ottiene $ sin(alpha + beta)=2sin((alpha+beta)/2)cos((alpha+beta)/2)$

Sempre lavorando sul primo membro dell'identità e usando le formule di postraferesi:
$sin(alpha)+sin(beta)=2sin((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)$

Quindi, raccogliendo a fattori comuni, il primo membro si può scrivere come:
$2sin((alpha+beta)/2)[cos(alpha/2+beta/2)+cos(alpha/2-beta/2)]$

Ora basta applicare le formule di addizione e sottrazione:
$2sin((alpha+beta)/2)[cos(alpha/2)cos(beta/2)-sin(alpha/2)sin(beta/2)+cos(alpha/2)cos(beta/2)+sin(alpha/2)sin(beta/2)]=$
$=2sin((alpha+beta)/2)[2cos(alpha/2)cos(beta/2)]=4cos(alpha/2)cos(beta/2)sin((alpha+beta)/2)$

Grazie mille per l'aiuto.