Iniziamo con il dare la definizione di limite
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 \) tale che \( \forall x \) che soddisfa \( \left| x -x_0 \right| \leq \delta \) allora risulta \( \left| f(x) -\ell \right| \leq \epsilon \)
BayMax ha scritto:Ora, la prima domanda è questa: nella seconda soluzione ho delle limitazioni sulla $ \epsilon $ che deve essere $ \epsilon<0 $ (non accettabile per le ipotesi su $ \epsilon>0 $) $ vv $ $ \epsilon>4 $. E dunque come comportarmi ? Non posso avere limitazioni sulla $ \epsilon $ o sbaglio ? E comunque non limitazioni "inferiori". Devo poter scegliere la $ \epsilon $ piccola quanto voglio, non da 4 in su.
Quando verifichi un limite con la definizione fissi un \( \epsilon \) e vuoi trovare l'esistenza di almeno un \( \delta \) (che dipende dal \( \epsilon \) scelto). Ma questa cosa deve valere per ogni \( \epsilon >0 \). Pertanto dalla definizione è chiaro che non puoi avere delle limitazioni sul \( \epsilon \) di alcun genere.
Tu comunque non hai alcuna limitazione prendendo infatti la seconda disequazione
\[ \frac{1}{x} + x -2 > -\epsilon \]
La riscrivo in modo più compatto
\[ \frac{(x-1)^2}{x} > - \epsilon \]
Siccome hai fissato un \( \epsilon >0 \) e poiché puoi supporre \( x > 0 \) in quanto \( x \neq0 \) siccome la tua funzione non è definita in \( 0 \) e pertanto se esiste un intorno di \( 1 \) non puo includere lo zero, risulta chiaramente che
\( \forall x >0 \)
\[ \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0 > - \epsilon \]
BayMax ha scritto:Seconda domanda: mi sembra che, tra i quattro estremi trovati, $ 1+(\epsilon+sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2 $ e $ 1+(\-epsilon-sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2 $ siano rispettivamente il più grande ed il più piccolo tra i valori (ma non sono affatto sicuro di ciò, anzi, probabilmente sto sbagliando sul valore più piccolo), ma qual è il metodo più rapido per posizionare correttamente i restanti due valori sull'asse dei reali ? Un modo potrebbe essere quello di risolvere, ad esempio, la disequazione $ 1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2>1+(\-epsilon+sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2 $ e vedere se si arriva a qualcosa di vero o falso. O, ancora, sostituire due epsilon "a caso" sulla calcolatrice e verificare i valori trovati. Ma esiste un metodo più semplice, immediato, rapido e "matematico"
?
Rispondendo alla prima domanda abbiamo visto che le soluzioni alla seconda disequazione sono tutta la retta reale positiva e diversa da zero (siccome possiamo supporre \( x > 0 \)). Quindi questa domanda non avrebbe molto più senso, però rispondo comunque.
Per completezza le due soluzioni che citi della seconda disequazione le trovi se supponi \( x < 0 \) pertanto la seconda disequazione diviene:
\[ x^2- x(3-\epsilon) + 1 \leq 0 \]
In questo caso sì supponi \( \epsilon \geq 4 \), però stai uscendo dal problema iniziale della verifica del limite ipotizzando \( x <0 \) quindi stai semplicemente calcolando una soluzione di una disequazione parametrica. E le soluzioni sono
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Ora chiaramente \[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Pertanto mostriamo che
\[ 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \leq 0 \]
Infatti abbiamo che
\[ \sqrt{\epsilon(\epsilon-4)} \leq \epsilon - 2 \]
E abbiamo
\[ \epsilon^2 - 4 \epsilon \leq \epsilon^2 - 4\epsilon + 4 \]
Le due soluzioni sono dunque negative. Mentre le altre due soluzioni sono positive.
Sebbene non ha senso compararle per il seguente motivo.
Nella prima disequazione trovi quell'intervallo quando \( x >0 \) mentre se \( x <0 \) allora la soluzione è tutta la retta reale negativa escluso lo zero.
Viceversa nella seconda disequazione trovi che quando \( x >0 \) la soluzione è tutta la retta reale positiva escluso lo zero, mentre se \( x <0 \) allora è questo intervallo
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
La risoluzione del sistema quindi è dato da ( siccome \( \epsilon >0 \) fissato ).
Se \( x >0 \)
\[ 1+\frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Se \( x <0 \)
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
BayMax ha scritto:Terza domanda: come posso proseguire ?
Quarta domanda: è corretto quest'ultimo modo di procedere ?
La terza domanda e la quarta hanno una risposta simile. Per la terza la risposta è la quarta, che è corretta sì ma incompleta.
Devi tener presente quello che stai facendo, devi trovare l'esistenza di almeno un \( \delta >0\) che dipende dal \( \epsilon >0\) arbitrariamente scelto, tale che per le \( x \) che verificano \( \left| x- 1 \right| \leq \delta \) risulta che \( \left| f(x) + 1 \right| \leq \epsilon \).
Abbiamo dunque
\[ 1+\frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Implica
\[ \frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x - 1\leq \frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Che è un intorno di \( 1 \).
Ora nota però che i due estremi non sono della forma \( - \delta \leq x -1 \leq \delta \) con \( \delta >0 \) per ovviare a questo problema è sufficiente definire
\[ \delta: = \min \left( \left| \frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\right|,\left|\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \right| \right) \]
E hai finito! Infatti hai trovato il \( \delta \) definito qui sopra che soddisfa la definizione di limite.
Ti lascio in spoiler un modo meno tedioso e meno calcoloso per la verifica di questo limite, che forse è un po' avanzato.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Fissiamo un \( \epsilon >0\) tale che
\[ \left| \frac{(x-1)^2}{x} \right| \leq \epsilon \]
e mostriamo l'esistenza di almeno un \( \delta >0 \) dipendente da \( \epsilon \) tale che \( \left| x-1 \right| \leq \delta \).
\[ \left| \frac{(x-1)^2}{x} \right| =\frac{(x-1)^2}{\left| x\right| } \]
Siccome dobbiamo avere \( \left| x-1 \right| \leq \delta \), se scegliamo \( \delta_1 = \frac{1}{2} \)
Abbiamo che se \( \left| x-1 \right| \leq \frac{1}{2} \) implica che \( - \frac{1}{2} \leq x-1 \leq \frac{1}{2} \) pertanto \( \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} \)
Dunque
\[ \frac{2(x-1)^2}{3} \leq \frac{(x-1)^2}{\left| x\right| } \leq 2(x-1)^2 \]
Dunque scegliendo \( \delta_2 = \frac{ \sqrt{\epsilon}}{2} \) risulta che
\[ \frac{(x-1)^2}{\left| x\right| } \leq 2(x-1)^2 \leq 2 \frac{\epsilon}{4} \leq \epsilon \]
Pertanto \( \forall \epsilon >0 \) abbiamo che esiste \( \delta := \min (\delta_1,\delta_2) \) tale che \( \forall x \) tale che \( \left| x- 1 \right| \leq \delta \) risulta che \( \left| f(x)- \ell \right| \leq \epsilon \)
Infatti se \( \frac{1}{2} \leq \frac{ \sqrt{\epsilon}}{2} \) allora \( \epsilon \geq 1 \) pertanto
\[ \frac{(x-1)^2}{\left| x\right| } \leq 2(x-1)^2 \leq 2 \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \leq 1 \]
Mentre se \( \frac{1}{2} \geq \frac{ \sqrt{\epsilon}}{2} \) allora \( \epsilon \leq 1 \) pertanto
\[ \frac{(x-1)^2}{\left| x\right| } \leq 2(x-1)^2 \leq 2 \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \leq \epsilon \]
. E grazie di aver risposto anche a tutte le altre domande con tanta cura.