Congruenze in modulo n

[Aletzunny]

Trovare le ultime due cifre in base 10 del numero

$3202^(((1721)^507))$

In classe siamo giunti a ridurre tutto a

$\{(x-=0 mod4),(x-=2 mod25):}$

E poi l'esercizio va concluso a casa (il risultato è $x-=52 mod 100$). Ora, facendo tutti i passaggi, non riesco ad arrivare a trovare la soluzione.
Riporto qui sotto tutti i passaggi

$25$ e $4$ sono coprimi per qui posso applicare il teorema cinese del resto, ovvero:

$\{(x=0+4h),(x=2+25k):}$ con $h,k in ZZ$ da cui

$4h=2+25k$, cioè $4h-25k=2$

Scrivo un'identità di Bezout tra $4$ e $25$

$4u+25v=1$ da cui ricavo $u=-6$e $v=1$ e riscrivendo trovo che

$2*(-6)*4-(-2)*1*25=2$

Da cui ricavo $h=-12$ e $k=-2$ che mi portano a trovare il risultato

$\{(x=-48),(x=-48):}$ ovvero

$x-=-48 mod100$

Ad occhio conoscendo la soluzione vedo che $x-=52 mod100$ va bene ma senza io sarei arrivato alla soluzione $x-=-48 mod100$. Mi dite dove sto sbagliando?
Grazie

[axpgn]

È la stessa cosa.

[Aletzunny]

È la stessa cosa.

Ma come fa un numero terminare con le ultime due cifre $52$ o in modulo $48$?

Non capisco questo? C'è modo di trovare $52$ dal $-48$ da me trovato?

[axpgn]

Ma come fa un numero terminare con le ultime due cifre $52$ o in modulo $48$?

Questa frase non vuol dire niente, cerca di essere più preciso quando vuoi dire qualcosa …

Cosa significa che un intero $a$ è congruo ad un altro $b$ modulo $c$ ?
Semplicemente che la differenza $a-b$ è un multiplo di $c$
Quindi nel tuo caso, se è vero che $x-52=100k$ cioè $x-52$ è un multiplo di $100$ allora lo sarà anche $x+48$.

Dimostrazione.
Per ipotesi abbiamo che $x-52=100k$ da cui $x=100k+52$.
Sostituendo in $x+48$ otteniamo $x=48+100k+52=100k+100=100(k+1)$ che chiaramente è divisibile per $100$ (come volevasi dimostrare).

Se un numero è congruo a $52$ modulo $100$, sarà congruo anche a $152$, $252$, ecc. ma anche a $-48, -148$, ecc.

[Aletzunny]

Quello che non mi torna è che la richiesta è di trovare le ultime 2 cifre in base 10 del numero


$3202^(((1721)^507))$

E in classe ci è stato detto che è equivalente a risolvere il sistema
$\{(x-=0 mod4),(x-=2 mod25):}$

Ma allora questo numero secondo il mio risultato termine con le ultime due cifre $48$ e non $52$.

Questo non mi è chiaro

[axpgn]

Quello che non ti è chiaro è quello che ho scritto nel post precedente … rileggilo e rifletti … poi ne riparliamo ma domani perché "tra cinque minuti" NON è "riflettere" …

P.S.: Peccato che "tra cinque minuti" è "domani"

[Aletzunny]

Io ci ho provato mezza serata ma davvero non riesco a capire...ho riletto la teoria sulle congruenze ma non riesco a vernirne a una.
Nel senso che alla domanda con quali cifre in base 10 termina il numero dato io avrei risposto 48 anziché 52 e non capisco come arrivare dal mio risultato (che per il sistema impostato è corretto perché -48-0 è multiplo di 4 e -48-2 è multiplo di 25) al risultato "corretto" del libro, cioè che il numero termina con le ultime due cifre 52

[axpgn]

Dici che hai letto e riletto la teoria delle congruenze ma mi pare che non l'hai ancora compresa appieno perché, in tal caso, ti sarebbe chiaro che la scrittura $x-=-48 mod 100$ non equivale a $x=-48$ ma a $x-(-48)=k*100$ con $k in ZZ$ (come detto poco sopra).
Quindi le soluzioni di quell'equazione sono infinite (una per ogni $k$) e non una sola ($-48$); difatti lo sono anche $52, 152, 252, -48, -148, -248, …$ )
Quale tra queste infinite soluzioni è quella che risolve il problema? L'unica che ha due cifre cioè $52$ (faccio notare che $-48$ ha due cifre ma con il meno davanti che è difficile da piazzare all'interno di un numero)

[Aletzunny]

Grazie