Dimostrazione della proprietà transitiva in una relazione

[Andrel]

Ciao a tutti, vi chiedo una mano. Quest'anno ho iniziato il liceo scientifico e ho un forte dubbio riguardo le relazioni. Potreste spiegarmi come si può dimostrare la presenza/assenza della proprietà transitiva?
In particolare c'è un esercizio che mi manda in crisi:
C'è un insieme: A={1,2,3,4,5}
C'è una relazione: x R y se e solo se x+y= 2n e n appartiene a N, ovvero x è in relazione con y se e solo se la somma di x e y è un numero naturale pari.
Verifica che questa relazione sia d'equivalenza.
Spero riusciate a togliermi questa incertezza. Vi ringrazio in anticipo.

[axpgn]

Premesso che quando hai un insieme finito di pochi elementi puoi sempre fare la verifica caso per caso (che può tornarti utile come conferma o meno del tuo ragionamento), in questo caso puoi notare che affinché due elementi siano in relazione devono essere della stessa parità (entrambi pari od entrambi dispari).
È riflessiva: $x$ ha la stessa parità di sé stesso .
È simmetrica: se $x$ e $y$ hanno la stessa parità allora anche $y$ e $x$ avranno la stessa parità.
È transitiva: se $x$ e $y$ sono tutti e due pari (o tutti e due dispari) ed anche $y$ e $z$ hanno la stessa parità allora $x$ ha la stessa parità di $z$ e quindi sono in relazione.

Cordialmente, Alex

[gugo82]

In questo caso è molto semplice ragionare su una rappresentazione della relazione, ad esempio un grafo orientato.

Per costruire il grafo è chiaro che devi capire come è fatta la relazione, cioè individuare esplicitamente quali elementi sono in relazione con quali altri.
Questo è molto semplice, perché i numeri dispari sono tutti in relazione tra loro ed i numeri pari sono tutti in relazione tra loro (perché la somma di due dispari o di due pari è un numero pari), ma nessun numero dispari è in relazione con nessun numero pari e viceversa (perché la somma di un pari e di un dispari è un numero dispari)¹; dunque $1,3,5$ sono tutti in relazione tra loro (e con loro stessi) e $2,4$ sono in relazione tra loro (e con loro stessi).
Mettendo tutto su grafico, ottieni qualcosa del genere:



e di qui è semplice vedere che la relazione è:

• riflessiva (ci sono tutti gli archi $a->a$),
  
  
• simmetrica (per ogni arco $a->b$ c’è anche l’arco opposto $b->a$),
  
  
• transitiva (ogni possibile percorso “in due tappe” $a->b->c$² può essere fatto anche “in una sola tappa” $a->c$).

Quindi la relazione è di equivalenza.

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Note

1. Questi ragionamenti sulla parità o disparità (come quelli sulla positività o negatività) sono molto importanti: non perdere mai l’abitudine di farli, quando possibile (ed utile). ↑
2. Osserva che qualche tappa può partire ed arrivare nello stesso punto. ↑