Rette e parabola

[luckylu]

ciao a tutti, ho un altro quesito da sottoporvi:

determina l'equazione della parabola p1:y=ax^2+bx-1 tangente alla retta 2x-y=0 nel punto di ascissa 1 e l'equazione della parabola p2, avente per vertice il punto di ascissa 4 di p1 e passante per il punto di ascissa 3 di p1.
calcolare il valore di k per cui la retta y=k interseca p1 e p2 formando segmenti congruenti.

come lo imposto ?
grazie

[@melia]

Hai l'ascissa del punto, sai che sta sia sulla parabola che sulla retta, con la retta ne trovi l'ordinata: $P(1,2)$, adesso metti a sistema retta e parabola imponendo la condizione di tangenza ($Delta=0$)

Metti a sistema $Delta=0$ con la condizione di appartenenza del punto P alla parabole $p_1$, cioè $2=a+b-1$ ottieni un sistema a due equazioni in due incognite $a$ e $b$ che apparentemente è di secondo grado, ma ammette una sola soluzione doppia.

Con l'equazione di $p_1$ trovi le ordinate dei due punti $A(4, ...)$ e $B(3, ...)$, imponi l'appartenenza di A e di B alla parabola $p_2$ sostituendo le coordinate, inoltre, siccome A è il vertice hai anche l'equazione aggiuntiva $-b/(2a)=4$

Adesso che hai le due parabole trovi per ciascuna le intersezioni con la retta $y=k$ e poi la distanza tra le due intersezioni. Uguagli le distanze trovate, ottenendo un'equazione di incognita $k$.

[luckylu]

Grazie @melia ! Ho ancora un dubbio:
come faccio a risolvere il sistema tra la retta 2x-y=0 e la parabola con la condizione di appartenenza del punto p, cioè 2=a+b-1 ?

grazie 1000 in anticipo
M.

[@melia]

Devi seguire i passi che ti ho indicato, uno alla volta.
Metti a sistema la parabola con la retta tangente:
$\{( y = ax^2+bx-1),(2x-y=0):}$
con la sostituzione ricavi l'equazione di secondo grado risolvente il sistema $ax^2+(b-2)x-1=0$ sulla quale devi imporre la condizione di tangenza (= 2 soluzioni coincidenti= $Delta=0$)

$Delta=(b-2)^2+4a=0$ questa equazione va messa a sistema con la condizione di appartenenza del punto P alla parabola: $ 2=a+b-1 $

con il sistema $\{((b-2)^2+4a=0),(2=a+b-1 ):}$ ricavi $a$ e $b$, ottenendo $a= -1$ e $b=4$, per cui la parabola $p_1$ avrà equazione $y= -x^2+4x-1$

[luckylu]

grazie infinite

M.