Dubbio disequazione logaritmica

[giamar]

Ciao,
non riesco a risolvere la seguente disequazione.

\(\displaystyle 2ln (x) - 3 < (2ln (x) + 3)/ln(x) \)

La soluzione sarebbe:

\(\displaystyle 0 < 1/ \sqrt(e) V 1 < x < e^3 \)

Di seguito i miei passaggi.
Riscrivo la disequazione in questa forma:

\(\displaystyle ln (x)^2 - ln(e)^3 < (2ln (x) + 3ln(e))/ln(x) \)

\(\displaystyle ln (x)^2 - ln(e)^3 < (ln (x)^2 + ln(e)^3)/ln(x) \)

moltiplicando entrambi i membri per \(\displaystyle ln (x) \)

avremo:

\(\displaystyle ln (x)^3 - ln(x) ln(e)^3 < ln (x)^2 + ln(e)^3 \)

\(\displaystyle ln (x)^3 - ln(x) ln(e)^3 - ln (x)^2 - ln(e)^3 < 0 \)

ovvero

\(\displaystyle ln (x)^3 - 3 ln(x) - ln (x)^2 - ln(e)^3 < 0 \)

\(\displaystyle ln (x)^3 - ln(x)^3 - ln (x)^2 - ln(e)^3 < 0 \)

\(\displaystyle - ln (x)^2 - ln(e)^3 < 0 \)

\(\displaystyle - ln (x)^2 < ln(e)^3 \)

\(\displaystyle ln (x)^2 > ln(e)^3 \)

\(\displaystyle ln (x)^2 - ln(e)^3 > 0 \)

\(\displaystyle ln (x)^2 > ln(e)^3 \)

la base del logaritmo è > 0
si mette a sistema:

1. \(\displaystyle (x) > 0 \)
2. \(\displaystyle ln (x)^2 > ln(e)^3 \)

sto procedendo bene?

[giuseppe miglio]

Banalmente, poni t=lnx. Otterrai una disequazione razionale fratta, che risolta ti fornirà: t<-1/2 v 0<t<3. Risostituendo lnx e risolvendo le disequazioni elementari, otterrai la soluzione che hai postato.
Ciao.

[giamar]

Azz hai ragione, c'ho perso 2 settimane a capirlo

[Zero87]

moltiplicando entrambi i membri per \(\displaystyle ln (x) \)

Attenzione, in una disequazione non puoi moltiplicare ambo i membri a cuor leggero perché se moltiplichi ambo i membri per una quantità negativa devi cambiare il verso della disequazione.
Nelle disequazioni in genere si raccoglie, si fa il mcm e si porta tutto in uno dei due membri per fare lo studio del segno.

Mi sembrava doveroso fare questa specifica - a prescindere dal metodo risolutivo impiegato.

[giamar]

Grazie ragazzi!

[giamar]

Un dubbio:
la disequazione di secondo grado ha come risultato

\(\displaystyle -1/2 < t < 3 \)

quindi \(\displaystyle X < e^3 \) e \(\displaystyle X > 1/ \sqrt (e) \)

non mi torna \(\displaystyle X < 1/ \sqrt (e) \)

[tommik]

@giamar, mi dispiace dirlo ma non hai la più pallida idea di come approcciare questi problemi.

La disequazione è di una banalità imbarazzante (per uno che ha come obiettivo un esame di Analisi all'Università). Quindi, il consiglio che ti posso dare è abbandonare gli esercizi e metterti a studiare profondamente la teoria.....poi ovviamente fai ciò che ti pare e che ritieni più opportuno.

Testo¹:

$2logx-3<(2logx+3)/(logx)$

La PRIMA COSA DA FARE....e che non hai fatto, se non solo parzialmente ed alla fine... è indicare le condizioni di esistenza....ovvero

${{: ( x>0 ),( x !=1 ) :}$

fatto questo (mettiamo la condizione nel cassetto e la tireremo fuori alla fine....)

non servono tutti quei passaggi che continui a fare ogni volta (senza peraltro ragionare sul problema) ma si porta tutto al membro di sinistra così, facendo come sempre il mcm e sommando i vari addendi:

$(2log^2 x-5logx-3)/(logx)<0$

(nota che non ho eliminato il denominatore perché è una disequazione....)

ora studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore²:

(click per ingrandire)


ora vedi bene che, affinché il rapporto sia minore di zero, i due intervalli in cui la disequazione è verificata sono quelli dove ci ho messo la freccia (come peraltro ti è già stato detto sopra)....ovvero:

$logx<-1/2$

e

$0<logx<3$

ora tiriamo fuori anche la condizione iniziale dal cassetto, risolviamo in x i due intervalli trovati ed otteniamo la soluzione

$(0<x<e^(-1/2)) uu (1<x<e^3)$

fine

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Note

1. anche se si tratta di logaritmi naturali viene più comodo usare sempre la notazione $log$...tanto si usano sempre quelli... ↑
2. indico con la riga continua l'intervallo dove il numeratore (N) oppure il denominatore (D) risultano maggiori di zero mentre con quella tratteggiata dove essi risultano minori di zero ↑

[giamar]

tommik seguirò sicuramente i tuoi consigli. Il problema è che ho abbandonato da diversi anni (più di 20 ormai) la materia e sto cercando di riprendere, non senza qualche difficoltà (in primis il tempo a disposizione). Quello che per voi può essere banale, per me non lo è, ma non mollo.